Propriétés : 1) Une fonction affine est représentée par une droite. 2) Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l'origine. 3) Une fonction constante est représentée par une droite parallèle à l'axe des abscisses. Une fonction affine est représentée par une droite.
Si a > 0 a>0 a>0 la fonction est croissante. Si a < 0 a<0 a<0 la fonction est décroissante. Une fonction affine est une fonction linéaire avec l'ordonnées à l'origine b = 0 b=0 b=0.
Soit O ∈ E un point fixé, alors f : E → F est affine si et seulement si l'application φ : −→ E → −→ F défini par φ( −−→ OM) = −−−−−−−→ f(O)f(M) est linéaire. linéaire, alors l'application f : E → F définie par : f(M) = O/ + φ( −−→ OM) .
Pour construire la droite d'une fonction affine, prenons un exemple : Soit la fonction f, définie par f(x) = 2x - 3. f(x) est bien de la forme ax + b, avec a = 2 et b = -3 : c'est donc bien une fonction affine.
Expression d'une fonction affine
L'expression de la fonction est f(x) = 2x + 3. Il s'agit d'une fonction affine car elle s'écrit sous la forme f(x) = ax + b avec a = 2 et b = 3.
Soit une fonction affine f : x ax + b représentée dans un repère par une droite d. Les coordonnées (x ; y) d'un point M appartenant à d vérifient y = ax + b. La droite (d) représentant la fonction f définie par f(x) = ax + b a pour coefficient directeur a et pour ordonnée à l'origine b.
2 – Fonctions affines
On appelle fonction affine toute fonction f dont l'expression peut s'écrire sous la forme f (x) = a x + b où a et b sont des constantes. Ce nombre a est appelé coefficient directeur de la fonction affine f. Ce nombre b est appelé ordonnée à l'origine de la fonction affine f.
Tout d'abord une fonction linéaire a pour équation y = ax alors qu'une affine est y = ax + b. Une fonction linéaire est donc un cas particulier d'une affine, en prenant b = 0. Graphiquement, la droite linéaire passe par l'origine contrairement à l'affine. Ce qui suit est donc valable pour les deux types de fonctions.
Une fonction affine se représente toujours par une droite mais contrairement aux fonctions linéaires elle ne passe pas par l'origine. Reciproquement si une fonction est représentée par une droite qui ne passe pas par l'origine alors on peut en conclure qu'il s'agit d'une fonction afine.
Une fonction linéaire est une fonction affine particulière. En effet, f : x → ax peut s'écrire f : x → ax + 0 . f : x → ax + b est une fonction affine, g : x → ax est la fonction linéaire associée à f.
la variable indépendante (x) est la même, que la variation des valeurs consécutives de la variable dépendante (f(x)) est constante, et qu'elle passe par l'origine (0,0), elle représente une fonction linéaire.
La non-linéarité est une propriété utilisée pour décrire une relation qui n'est pas linéaire. Ce terme décrit une fonction qui ne peut être représentée par une ligne droite sur un graphique, mais qui a plutôt une forme courbe ou angulaire.
Droite passant par 0
Soit un repère orthonormé. Ci-contre, nous avons une droite (d) qui passe par le point 0. Une équation de droite se présente sous la forme : y = ax + b avec a le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine. Ici b = 0, car la droite coupe l'axe des ordonnées au point 0.
Lorsque la fonction est définie sur l'ensemble des réels, elle est représentée par une droite, dont a est la pente et b l'ordonnée à l'origine. Un cas particulier des fonctions affines est lorsque l'ordonnée à l'origine est nulle, on obtient alors une fonction linéaire.
Toute droite s'écrit de la forme y = a x + b y=ax+b y=ax+b, donc il suffit de déterminer les nombres a et b. On peut commencer par lire le point b sur l'axe des ordonnées. Pour en déduire le coefficient directeur a, on se positionne sur l'ordonnée à l'origine et on décale de une unité.
Si une fonction affine est une fonction constante, c'est-à-dire qu'elle est de la forme 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑏 , la représentation graphique de cette fonction est toujours une droite horizontale passant par le point ( 0 ; 𝑏 ) .
Une fonction affine est toujours associée à une formule de type f(x) = ax + b, pour déterminer cette formule il faut donc trouver la valeur de "a" et celle "b".
Propriété Dans un plan muni d'un repère (O ; I ; J), la représentation graphique de la fonction affine x → ax + b est la droite d'équation : y = ax + b. a est le coefficient directeur de la droite et b est son ordonnée à l'origine.
Soient x1 et x2 deux nombres quelconques (x1 x2). L'accroissement des images par une fonction affine, est proportionnel à l'accroissement des nombres associés.
Le signe d'une fonction permet de savoir quand la fonction est positive, négative ou nulle. Pour une fonction 𝑓 ( 𝑥 ) sur un intervalle 𝐼 , le signe est positif si 𝑓 ( 𝑥 ) > 0 pour tout 𝑥 dans 𝐼 , le signe est négatif si 𝑓 ( 𝑥 ) < 0 pour tout 𝑥 dans 𝐼 .
Une fonction affine est une fonction dont le graphique est une droite. Par conséquent, le graphique d'une fonction non affine n'est pas une droite. Un exemple de fonction non affine serait quelque chose comme 𝑦 est égal à 𝑥 au cube ou 𝑦 est égal à 𝑒 à la puissance 𝑥.
Une fonction affine peut être décrite par : f : R → R → + La droite correspondant à une fonction affinene passe pas par ne passe pas par ne passe pas par l'origine l'origine l'origine. ety sont reliés par la relation y = a +. C'est l'équation de la droite l'équation de la droite l'équation de la droite.
Un procédé général pour trouver les racines d'une équation non linéaire f(x)=0 consiste en la transformer en un problème équivalent x − φ(x)=0, où la fonction auxiliaire φ : [a, b] → R doit avoir la propriété suivante : φ(α) = α si et seulement si f(α)=0. Le point α est dit alors point fixe de la fonction φ.
En conclusion, le système linéaire possède un seul point d'équilibre alors que le système non-linéaire possède plusieurs points d'équilibre, plus exactement deux points sur .