La forme canonique sert à étudier les variations ou trouver un extremum (minimum ou maximum). (a) La représentation graphique d'une fonction polynôme du second
La forme canonique d'une fonction polynôme s'obtient par la méthode de complétion du carré. La forme canonique permet d'obtenir le maximum ou le minimum d'une fonction polynôme, le sens et l'axe de symétrie de sa parabole associée.
Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f. avec α = − b 2a et β = − b2 − 4ac 4a .
On peut en déduire une formule. Pour mettre le trinôme x 2 + b x sous forme canonique, il faut ajouter et retrancher ( b 2 ) 2 . Par exemple, pour mettre x 2 + 6 x sous forme canonique, on ajoute et on retranche ( 6 2 ) 2 = 9 .
La forme canonique est la forme factorisée. Si Δ est nul, posons r = − b 2 a . La forme canonique est la forme factorisée : a x 2 + b x + c = a ( x − r ) 2 et (E) admet r comme une unique solution.
Factorisation : la forme canonique se factorise grâce à l'identité a2−b2 a 2 − b 2 =(a−b)(a+b). = ( a − b ) ( a + b ) . ⇔f(x)=2(x−3)(x+2).
I) Forme canonique et racines
P(x)=a((x+b2a)2–b2–4ac4a2). Le réel Δ = b2 – 4ac est appelé discriminant de P ou discriminant de l'équation ax2 + bx + c = 0.
On souvente que c'est un trinôme. Forme canonique : f(x) = a (x - ∝)² + β où ∝ = - b/2a et β = f(a).
Forme canonique d'un trinôme du second degré
Il existe deux réels α et β tels que, pour tout réel x, f ( x ) = a ( x − α ) 2 + β f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta f(x)=a(x−α)2+β.
Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction définie sur R dont l'expression algébrique peut être mise sous la forme : f ( x ) = a x 2 + b x + c f(x)=ax^2+bx+c f(x)=ax2+bx+c, avec a ≠ 0 a\neq0 a=0.
Pour parvenir à factoriser une expression en un produit de facteurs, il faut d'abord chercher si l'on peut isoler un facteur commun. Par exemple on va chercher le terme commun qui permet de multiplier le premier terme par la deuxième expression : 4x+20 par exemple, est égal à 2 x (2x + 10).
On dit que K est le corps de base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A. ∀x, y ∈ A, ∀a ∈ K, f(x × y) = f(x) × f(y) et f(x + ay) = f(x) + af(y).
Règle. À partir de l'équation de la fonction, déterminer les coordonnées du sommet (h,k). ( h , k ) . Trouver les valeurs des zéros de la fonction en remplaçant y par 0 puis en isolant x ou en utilisant directement la formule x1,2=h±√−ka.
70 exprimé en % de 250 = (70 x 100) ÷ 250 = 28 %. Pour calculer la différence de pourcentage entre deux nombres, on utilisera les mêmes calculs de base.
α correspond au nombre pour lequel la fonction atteint un extrémum (maximum ou minimum) et β correspond à la valeur de cette extremum ( β = f(α) ). (α,β) correspond aux coordonnées du sommet de la courbe qui représente la fonction polynôme de second degré.
Supposons que le rendement attendu est de 12% après un an, le taux de rendement sans risque est de 10%, le bêta est de 1,2 et la valeur de référence est de 11%. Votre calcul de l'alpha serait alors : 12 - 10 - 1,2 x (11 - 10). Cela signifie que l'alpha est de 0,8%.
Passage de la forme générale à la forme canonique
( h , k ) = ( − b 2 a , 4 a c − b 2 4 a ) . Remarque : Ces deux formules s'obtiennent à partir de la forme générale ax2+bx+c a x 2 + b x + c en utilisant la méthode de factorisation appelée la complétion du carré.
Propriété Tout polynôme du second degré peut se mettre sous la forme : f ( x ) = a ( x − α ) 2 + β où α = − b 2 a et β = f ( α ) .
Pour des polynômes à deux variables ou plus, le degré d'un terme est la somme des exposants des variables dans le terme ; le degré (parfois appelé degré total) du polynôme est à nouveau le maximum des degrés de tous les termes du polynôme. Par exemple, le polynôme x2y2 + 3x3 + 4y est de degré 4, le degré du terme x2y2.
➡️ Par exemple, pour un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c, les racines peuvent être trouvées en résolvant l'équation quadratique ax² + bx + c = 0 à l'aide de la formule quadratique. Autrement dit, un réel a est un racine de P si P(a) = 0.
Pour une équation du second degré sous la forme ax2 + bx + c, le discriminant est la valeur b2 - 4ac. En calculant le discriminant, détermine le nombre de solutions réelles de l'équation 3x2 + 9. En calculant le discriminant, détermine le nombre de solutions réelles de l'équation 4x2 + 4x + 1.
Rappelons que 𝑥 = 𝑎 est un zéro de la fonction 𝑓 si 𝑓 ( 𝑎 ) = 0 . Pour trouver les zéros d'une fonction, nous devons résoudre l'équation 𝑓 ( 𝑥 ) = 0 .
Le sommet de la parabole a pour coordonnées (x, y) = [(-b/2a), f(-b/2a)]. Ici, pour trouver y, il faut juste faire f(9/2), ce qui donne : y = x2 + 9x + 18.