Si Δ < 0 : Pas de solution à l'équation ; Si Δ = 0 : Une seule solution S = -b/2a ; Si Δ > 0 : Deux solutions à l'équation S = {(-b-racine(Δ))/2a, (-b+racine(Δ))/2a}.
Si \Delta<0, l'équation n'admet aucune solution réelle. Si \Delta=0, l'équation admet une unique solution (dite « double ») : x_0=\dfrac{-b}{2a}.
Le signe de Δ indique le nombre de racines réelles : si Δ > 0 , alors il y a deux solutions réelles distinctes ; si Δ = 0 , alors il y a une solution réelle répétée ; si Δ < 0 , alors il n'y a pas de solutions réelles.
si Δ>0, alors on peut factoriser et f ( x ) = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) f(x)=a(x-x_1)(x-x_2) f(x)=a(x−x1)(x−x2).
Utilisation. Certaines équations peuvent se ramener à des équations produit par factorisation. Par exemple l'équation x2 = 9, qui est équivalente à x2 − 9 = 0, se factorise en (x − 3)(x + 3) = 0. Ce dernier produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, c'est-à-dire si et seulement si x = 3 ou x = −3.
Méthode 6 : Comment résoudre graphiquement l'équation f(x)=0 ? Pour résoudre l'équation f(x)=0, on trace Cf. Les abscisses des points d'intersection de Cf et de l'axe des abscisses sont les solutions !
Il n'est pas toujours nécessaire de calculer le discriminant Δ. On peut aussi chercher une racine évidente de l'équation du second degré en factorisant le polynôme. Résoudre x2 – 1 = 0 revient à résoudre x2 = 1 soit x = –1 ou x = 1. Résoudre x2 – 2x = 0 revient à résoudre x(x – 2) = 0 soit x = 0 ou x = 2.
Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f. avec α = − b 2a et β = − b2 − 4ac 4a .
a² + 2ab + b² = (a + b)² a² - 2ab + b² = (a - b)² a² - b² = (a + b)(a - b)
➡️ Par exemple, pour un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c, les racines peuvent être trouvées en résolvant l'équation quadratique ax² + bx + c = 0 à l'aide de la formule quadratique. Autrement dit, un réel a est un racine de P si P(a) = 0. On dit aussi que a est solution de l'équation P(x) = 0.
Calcul du Delta
Si le Delta est de 0.5, le ratio de couverture est le suivant 1/0.5 = 2. Cela signifie que pour un contrat sur le sous jacent, il faudra acheter 2 options pour avoir une position delta neutre. Si le delta est de 0.7, alors on fait l'opération suivante 1/0.7 = 1.66 soit approximativement 5/3.
b. 2x² + 5x – 3 est un polynôme du second degré de la forme ax2 + bx + c, avec a = 2, b = 5 et c = –3. Son discriminant est ∆ = b² – 4ac = 5² – 4 × 2 × (–3) = 49.
Toute racine de 1 est 1 .
Pour cela, dans le cas général, il faut d'abord calculer le discriminant Δ (delta), donné par la formule : Δ = b² - 4ac.
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle contenant un réel a, la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a a pour équation: y = f(a) + f′(a)(x - a) .
Un polynôme du second degré n'est pas toujours factorisable. Mais la forme canonique permet de : Savoir si on peut factoriser. Factoriser (mettre sous la forme d'un produit de deux facteurs) lorsque cela est possible.
Passage de la forme générale à la forme canonique
( h , k ) = ( − b 2 a , 4 a c − b 2 4 a ) . Remarque : Ces deux formules s'obtiennent à partir de la forme générale ax2+bx+c a x 2 + b x + c en utilisant la méthode de factorisation appelée la complétion du carré.
On peut en déduire une formule. Pour mettre le trinôme x 2 + b x sous forme canonique, il faut ajouter et retrancher ( b 2 ) 2 . Par exemple, pour mettre x 2 + 6 x sous forme canonique, on ajoute et on retranche ( 6 2 ) 2 = 9 .
On appelle racine évidente de un nombre , généralement entier, tel que . Une fonction polynôme ne possède pas nécessairement de racine évidente. Pour savoir si possède une racine évidente, on calcule rapidement , , , , puis , , . Si on trouve 0 en calculant ces nombres, alors on a identifié une racine évidente.
Méthode On commence par identifier les coefficients a, b et c de l'équation. On vérifie si l'équation est facile à résoudre : c'est le cas lorsque b = 0 ou c = 0, ou encore lorsqu'on reconnaît une identité remarquable. Si l'équation n'est pas évidente, on calcule le discriminant \Delta=b^{2}-4 a c .
Si le discriminant est égal à , l'équation a x 2 + b x + c = 0 a une racine réelle double. Si le discriminant est négatif, l'équation a x 2 + b x + c = 0 n'a pas de racine réelle.
Si ƒ est continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], alors pour tout nombre k compris entre ƒ(a) et ƒ(b), alors l'équation ƒ(x) = k admet une unique solution dans [a ; b]. Pour localiser cette solution, on pourra utiliser sa calculatrice.
Résoudre graphiquement une inéquation du type f(x) < k, revient à déterminer les abscisses des points de la courbe situés au dessous de la droite horizontale d'équation y = k. f(x) > k déterminer les abscisses des points de Cf situés au dessus de la droite horizontale y = k.
La forme canonique est une forme d'écriture paramétrique de l'équation d'une fonction. On dit que la forme canonique d'une fonction est porteuse de sens puisqu'elle donne de l'information sur l'allure de son graphique. On l'appelle aussi forme transformée.