Interprétation graphique du nombre dérivé. Si a∈ I et si f est dérivable en x =a, alors : La courbe représentative de f possède une tangente au point M a ; f a et le coefficient directeur de cette tangente est le nombre dérivé f ' a de la fonction f en x =a.
La dérivée, 𝑓 ′ ( 𝑥 ) est positive lorsque la courbe est au-dessus de l'axe des 𝑥 , et est négative lorsque la courbe est sous l'axe des 𝑥 . Lorsque 𝑥 ∈ ] 1 ; 5 [ , on a 𝑓 ′ ( 𝑥 ) > 0 , donc la pente de la courbe représentative de 𝑓 ( 𝑥 ) est positive.
On peut déterminer graphiquement la valeur de la dérivée d'une fonction f en un réel a, en utilisant la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a. On considère la fonction f, dont la courbe représentative C_f est donnée ci-dessous. T_0 est la tangente à C_f au point d'abscisse 0.
Dans un graphique dans les marges, observez le nuage de points et les graphiques dans les marges à la recherche de valeurs aberrantes. Sur un nuage de points, les points isolés indiquent des valeurs aberrantes. Sur un histogramme, des barres isolées aux extrémités indiquent des valeurs aberrantes.
Les solutions de l'équation f(x) = k sont les abscisses des points d'intersection de la courbe représentant la fonction f avec la droite horizontale d'équation y = k. Dans le cas particulier de l'équation f(x) = 0, les solutions sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.
Pour déterminer si cette représentation graphique correspond à une fonction, on ajoute une droite verticale sur le graphique et on vérifie le nombre de points d'intersection avec la courbe représentative. S'il y a plus d'un point d'intersection, la représentation graphique ne correspond pas à une fonction.
En d'autres termes, si 𝑥 = 𝑥 appartient à l'ensemble de définition de la fonction, alors 𝑓 est dérivable en 𝑥 = 𝑥 si et seulement si sa dérivée 𝑓 ′ ( 𝑥 ) existe et si la tangente à la courbe représentative de 𝑓 au point ( 𝑥 ; 𝑓 ( 𝑥 ) ) n'est pas verticale.
La tendance générale : Pour cela, reliez virtuellement ( ou à l'aide de pointillés discrets) les 2 extrémités de la courbe. Si votre regard monte, elle est CROISSANTE. A l'inverse, si votre regard descend, elle est DECROISSANTE. Enfin, si les deux extrémités sont identiques, elle est STABLE.
Comparer des données
Pour comparer deux ou plusieurs variables, les meilleures représentations graphiques sont les colonnes, le graphique à barres, le graphique en ligne et le graphique combiné (qui mixe par exemple colonnes et points). Les graphiques en colonne sont très utilisés et s'avèrent les plus pratiques.
Pour déterminer graphiquement $\tau$, on trace la tangente à la courbe à l'origine. Quand cette tangente coupe l'asymptote horizontale (E), on a $\tau$ sur l'axe des abscisses. Plus la valeur de $\tau$ est petite, plus cela signifie que la charge aura lieu rapidement.
En ce qui concerne f '(–1), on se place au point A d'abscisse (–1). La tangente y est horizontale, symbolisée par une double flèche. Cela signifie que le nombre dérivé en a = –1 est nul, autrement dit f '(–1) = 0. Pour lire graphiquement f '(0), on lit le coefficient directeur de la tangente en B.
On dit que f est dérivable en a si le taux d'accroissement de f en a admet pour limite un nombre réel lorsque h tend vers zéro. Ce nombre, noté f ′ ( a ) f'(a) f′(a) est appelé nombre dérivé de f en a.
Pour déterminer la fonction dérivée d'une fonction sur un intervalle donné, on peut revenir à la définition du nombre dérivé en un point a. On calcule alors la limite du taux d'accroissement de cette fonction entre x et a, lorsque x tend vers a. Ce calcul « à la main » est souvent très long et laborieux.
La dérivée seconde indique la variation de la pente de la courbe représentative et permet de mesurer la concavité locale de la courbe. Si elle est positive sur un intervalle, la pente augmente, la courbure est vers le haut, la fonction est dite « convexe » sur cet intervalle.
Si la fonction f est continue sur I et si fs est continue en a alors f est dérivable en a. Pour une fonction continue sur I, l'existence d'une dérivée symétrique positive suffit pour affirmer que f est croissante et l'existence d'une dérivée symétrique constamment nulle suffit pour prouver que f est constante.
si la dérivée est nulle sur tout l'intervalle, la fonction est constante sur cet intervalle. Exemple : la fonction est définie sur . Sa dérivée est toujours positive (ou nulle pour x = 0). Cette fonction est donc croissante sur son domaine de définition.
1 - Evolution = histogramme ou courbe
Un titre, deux axes, courbe ou histogramme, au choix. C'est l'utilisation la plus classique, facile, et lisible des graphiques. Vous pouvez suivre une série de données mensuelle, par exemple.
En résumé, les graphiques linéaires : montrent bien les valeurs de données spécifiques. révèlent les tendances et les relations entre les données. comparent les tendances de différents groupes de variables.
Un histogramme est la représentation graphique de la distribution tonale d'une image. La luminosité des couleurs est représentée sur l'axe horizontal (zone plus sombre sur la gauche et zone plus claire sur la droite) et le nombre de pixels est indiqué sur l'axe vertical.
Sur un diagramme, tous les rangs et toutes les mailles sont indiqués. Il se lit de droite à gauche pour tous les rangs impairs et de gauche à droite, pour tous les rangs pairs.
Un graphique circulaire, parfois appelé diagramme en secteurs ou camembert, est une façon de résumer un ensemble de données nominales ou de présenter les différentes valeurs d'une variable donnée (p. ex., répartition en pourcentage). Ce type de graphique est formé d'un cercle divisé en secteurs.
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h).
Parfois, la fonction est définie par prolongement par continuité en ce point. Pour justifier de la dérivabilité en ce point, on revient alors à la définition, en calculant le taux d'accroissement et en vérifiant s'il admet une limite, ou alors, si on connait, on applique le théorème de prolongement d'une dérivée.
On montre que si une fonction est dérivable en un point, elle est également continue en ce point.