Pour une fonction f définie dérivable sur un intervalle I, f ' sa fonction dérivée. f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée f ' est croissante sur I. f est concave sur I si et seulement si sa dérivée f ' est décroissante sur I. Remarque : une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive.
On démontre qu'une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est croissante sur cet intervalle, autrement dit si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.
Plus généralement, si A est une partie convexe d'un espace vectoriel normé E, une fonction f:A→R f : A → R est convexe lorsque, pour tous x et y de A , pour tout t de [0,1] : f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y).
La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f ''(x) ≥ 0 pour tout x de I. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit f ''(x) ≤ 0 pour tout x de I.
– La fonction f est convexe si et seulement si le graphe de f est situé au-dessus de tous ses hyperplans tangents. – La fonction f est convexe si et seulement si sa différentielle est croissante (on dit aussi monotone) au sens suivant ∀x, y ∈ U, (Df(x) − Df(y)).
Propriété 1 : si f est convexe sur I, alors f est continue sur I. Propriété 2 : si f est convexe sur I, alors f est dérivable `a droite et `a gauche sur I et ∀x0 ∈ I, fg (x0) ⩽ fd (x0).
Une fonction f est strictement convexe sur I si et seulement si ∀λ ∈ [0,1], ∀(x, y) ∈ I2, f(λx + (1 − λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f(y).
f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée f ' est croissante sur I. f est concave sur I si et seulement si sa dérivée f ' est décroissante sur I. Remarque : une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive. Il apparaît donc logique de s'intéresser au signe de la dérivée de f '(x).
1. Qui présente une courbure sphérique en relief ; qui est arrondi en dehors : Miroirs convexes. 2. Se dit d'un ensemble ponctuel E (différent d'une courbe) tel que tout segment ayant ses extrémités dans E est entièrement inclus dans E.
La condition nécessaire et suffisante de minimum pour une fonction convexe est simple, c'est que 0∈∂f(x) où ∂f(x) désigne le sous-différentiel de f en x (bon, il y a des conditions sur f pour qu'il existe, mais très faibles).
Les polygones convexes ont des angles internes de moins de 180 degrés et des sommets tournés vers l'extérieur. Les polygones non-convexes ont au moins un angle interne de plus de 180 degrés et des sommets tournés vers l'intérieur.
Une droite est un sous-espace vectoriel (de l'espace vectoriel euclidien). Or tout sous-espace vectoriel est convexe.
Un moyen très simple de comprendre la différence entre concave et convexe est de prendre une cuillère à soupe. Le côté qui sert de récipient est concave. Si l'on regarde son propre reflet dedans, on paraît plus gros. Le côté qui ne sert pas de récipient est convexe.
La dérivée seconde indique la variation de la pente de la courbe représentative et permet de mesurer la concavité locale de la courbe. Si elle est positive sur un intervalle, la pente augmente, la courbure est vers le haut, la fonction est dite « convexe » sur cet intervalle.
En géométrie euclidienne, un carré est un quadrilatère convexe à quatre côtés de même longueur avec quatre angles droits.
Qui présente une courbe en bosse. Ligne courbe convexe. — Un cercle, une ellipse sont convexes.
Polygone strictement convexe
De manière équivalente, un polygone est strictement convexe si tout segment de droite joignant deux sommets non consécutifs du polygone est contenu, à l'exception de ses extrémités, dans l'intérieur du polygone. Tout triangle non dégénéré est strictement convexe.
Adjectif. Qui présente une surface en creux. Surface, ligne courbe, polygone concave.
Une fonction est une relation mathématique qui prend une valeur et lui en associe une autre. On note souvent f la fonction et x le nombre de départ. On note f(x) le nombre d'arrivée. Par exemple, fonction f(x) = 2x + 3 est une fonction qui a tout x associe 2x+3.
Concave : plus la quantité d'un bien est grande, plus le supplément de satisfaction de l'individu sera faible (utilité marginale décroissante).
Soit une application d'un intervalle dans ; on dit que l'application est convexe si, quels que soient ( x 1 , x 2 ) ∈ I 2 et λ ∈ [ 0 , 1 ] on a : f ( λ x 1 + ( 1 − λ ) x 2 ) ≤ λ f ( x 1 ) + ( 1 − λ ) f ( ) .
Cette équation a notamment été étudiée par D'Alembert et Euler. Ils ont ainsi prouvé que la solution s'écrit y(x,t)=f(x+ct)+g(x−ct) y ( x , t ) = f ( x + c t ) + g ( x − c t ) , où f et g sont des fonctions arbitraires d'une variable réelle deux fois dérivables.
En plus d'être monotone, cette fonction est strictement concave. est quasi-concave si et seulement si elle est monotone ou « croissante puis décroissante ». Elle est donc quasi-linéaire si et seulement si elle est monotone.
Si 𝑓 ′ ′ ( 𝑥 ) > 0 pour tout 𝑥 appartenant à 𝐼 , alors 𝑓 est convexe sur 𝐼 . Si 𝑓 ′ ′ ( 𝑥 ) < 0 pour tout 𝑥 appartenant à 𝐼 , alors 𝑓 est concave sur 𝐼 . Si 𝑓 ′ ′ ( 𝑥 ) = 0 ou n'est pas défini, un point d'inflexion peut exister (ainsi, cette condition seule ne garantit pas la présence d'un point d'inflexion).
À droite : cas d'une fonction continue et strictement décroissante sur un intervalle [ a ; b ] [a; b ] [a;b]. Le réel c c c est l'unique solution de l'équation f ( x ) = k f(x)=k f(x)=k dans l'intervalle [ a ; b ] [a; b ] [a;b].