On dit que (X, d) est compact s'il a la propriété suivante : pour toute suite (xn) d'éléments de X, il existe une sous-suite (xnk ) qui converge dans X. Un exemple fondamental d'espace compact est donné par un intervalle fermé borné (un segment) de R ou, plus généralement n'importe quelle partie fermée
On appelle intervalle compact de R un intervalle fermé et borné du type [a,b] avec a ≤ b deux réels. Le mot ≪ compact ≫ fait référence `a la propriété de Bolzano- Weierstrass vue au premier chapitre. Dans ce chapitre, nous allons utiliser cette propriété topologique de compacité pour obtenir de la continuité uniforme.
les compacts de R sont les fermés bornés de R. Concretement, ce sont les ensembles fermés inclus dans un ensemble [a,b]. On ne peut pas les lister exhaustivement je pense. Je pense qu'on peut aussi dire que c'est les unions finies d'intervalles férmés.
Un espace métrique est compact si et seulement si de toute intersection vide de fermés de E, on peut en extraire une sous-famille finie d'intersection vide.
Ces variantes sont équivalentes à la compacité dans un espace métrique. Le nom « propriété de Borel-Lebesgue » rend hommage aux mathématiciens français Émile Borel et Henri Lebesgue, car le théorème homonyme établit que tout segment de ℝ est compact et, plus généralement, que les compacts de ℝn sont les fermés bornés.
Ainsi ℝ n'est pas compact, puisque la fonction identité, qui à x associe x lui-même, est continue mais non bornée. Ce même ensemble, privé du nombre 0 n'est pas davantage compact, comme on le voit en considérant la fonction inverse qui à x associe 1 /x.
∅ admet une unique topologie, qui est {∅}. Elle est à la fois grossière (donc cet espace topologique est connexe) et discrète (donc cet espace est compact, comme tout espace fini discret).
Une partie d'un ensemble ordonné est bornée si elle admet à la fois un majorant et un minorant dans l'ensemble ordonné. En dehors du cas où la partie elle-même contient un majorant et un minorant, cette définition dépend donc a priori du reste de l'ensemble ordonné.
La compacité d'un bâtiment est le rapport de la surface des parois en contact avec une zone non chauffée, appelée paroi déperditive, par le volume chauffé. La règle est qu'à volume chauffé égal, plus un bâtiment est compact, plus la surface des parois déperditives est faible.
Un ensemble F est fermé si et seulement si toute limite (dans E) d'une suite généralisée à valeurs dans F appartient à F. L'espace E est dit séquentiel si cette caractérisation de ses fermés reste vraie en remplaçant « suite généralisée » par « suite ». Tout espace métrique est séquentiel.
Un opérateur T de X dans Y est dit compact lorsque T est continu et que toute partie bornée de X est envoyée sur une partie relativement compacte de Y. (Lorsque T est linéaire, la seconde condition suffit pour qu'il soit borné, donc continu si de plus X est un espace vectoriel normé.)
Un fermé de R est le complémentaire d'un ouvert : F est un fermé si l'ensemble des nombres réels qui n'appartiennent pas à F est un ouvert.
Un espace vectoriel normé E est complet si et seulement si toute série absolument convergente d'éléments de E est convergente : c'est la caractérisation des espaces de Banach par les séries.
Un intervalle est un sous-ensemble de ℝ contenant tous les nombres réels compris entre deux nombres réels distincts et . Les bornes (extrémités) et peuvent être incluses ou exclues de l'intervalle.
R*+ --> R est la définition d'une application qui prend ses valeurs dans l'ensemble des nombres réels positifs non nul(l'étoile) et dont l'ensemble d'arrivée c'est-à-dire le résultat de l'application ou la fonction est un réel (appartient à R). source mes connaissances.
Définition 1 : Un intervalle de R est l'ensemble de tous les nombres réels compris entre deux réels a et b où a et inférieur à b. Remarque 1 : Selon que l'on prenne (ou non) le nombre a, on dira que l'intervalle est fermé (ouvert) du côté de a.
n étant fixé, il existe R=√n>0 tel que ||M||≤R donc On(R) est une partie bornée de Mn(R).
Définition. Une partie B d'un espace vectoriel topologique E est dite bornée si pour tout voisinage V du vecteur nul, il existe un scalaire α tel que B soit incluse dans l'ensemble, noté αV, des vecteurs de la forme αx avec x dans V.
Un ensemble E est dit infini (au sens usuel) si, pour aucun entier naturel n, il n'existe de bijection de { 0, 1, … , n – 1 } (les entiers naturels strictement inférieurs à n) dans cet ensemble E.
⋄ un ensemble qui ne contient qu'un seul élément s'appelle un singleton.
l'ensemble vide n'a pas de borne supérieure ni inférieure ; l'intervalle ]0, 1[ admet 0 comme borne inférieure et 1 comme borne supérieure ; l'ensemble {(–1)n+1/n | n = 1, 2, 3…}
On dénote par ∅ l'ensemble vide, celui composé d'aucun élément. Le symbole ∈ indique qu'un élément appartient à un ensemble.
Définition Un ensemble A de Rn est : (i) ouvert si ∀a ∈ A, ∃r > 0 tel que B(a, r) ⊂ A (ii) fermé si Ac est ouvert. A = A. A est fermé si et seulement si A = A.
Abréviation de revenu national et de route nationale.
On dit que X est dense dans R si tout intervalle ouvert non vide I de R rencontre X (c'est-à-dire contient au moins un élément de X). Proposition 0.2. Soit X une partie de R. Pour que X soit dense dans R il faut et il suffit que tout point de R soit limite d'une suite d'éléments de X.