Ce cours de mathématiques est la suite de Module d'un nombre complexe : définition et propriétés importantes. Parmi les nombres complexes, il existe un sous-ensemble remarquable : ceux dont le module vaut 1. Zoom sur le groupe \mathbb{U}.
En mathématiques, le module d'un nombre complexe est le nombre réel positif qui mesure sa « taille » et généralise la valeur absolue d'un nombre réel. Cette notion est notamment utile pour définir une distance sur le plan complexe.
Définition : Soit un nombre complexe z = a + ib. On appelle module de z, le nombre réel positif, noté z , égal à a2 + b2 . M est un point d'affixe z. Alors le module de z est égal à la distance OM.
Un nombre complexe z se présente en général sous forme algébrique comme une somme a + ib, où a et b sont des nombres réels quelconques et où i (l'unité imaginaire) est un nombre particulier tel que i2 = –1.
Elle fait partie de l'ensemble des nombres imaginaires. Ainsi le nombre i est défini comme suit : i est un nombre dont le carré est -1, algébriquement : i2 = -1.
1. Qui contient plusieurs parties ou plusieurs éléments combinés d'une manière qui n'est pas immédiatement claire pour l'esprit ; compliqué, difficile à comprendre : Question complexe. Une personnalité complexe.
Le module est la longueur (valeur absolue) dans le plan complexe qualifiant le nombre complexe z=a+ib z = a + i b (avec a la partie réelle et b la partie imaginaire), il est noté |z| et est égal à |z|=√a2+b2 | z | = a 2 + b 2 .
Quel est l'argument du nombre 0 ? L'argument de 0 vaut 0 (le nombre 0 a une partie réelle et complexe nulle et donc un argument nul).
Pour utiliser un score z, il faut connaître la moyenne μ et en outre l'écart-type de la population σ. = 190 – 150/25 = 1.6. Le score z vous indique le nombre d'écarts types par rapport à la moyenne de votre score. Dans ce modèle, votre score est de 1,6 écart-type par rapport à la moyenne.
Afin de calculer le module ∣z∣ et un argument θ d'un nombre complexe z, on détermine sa forme algébrique z = a+ib.
Pour généraliser à deux entiers N et P, on peut dire que N modulo P est le reste de la division euclidienne de N par P. Le modulo est utilisé en arithmétique modulaire, branche de la théorie des nombres dans laquelle on va s'interesser au reste de la division euclidienne d'un nombre par d'autres nombres.
Un module étant une longueur, il sera toujours positif ou nul : |z| ≥ 0. A noter que l'argument est toujours donné à 2π près car, comme on l'a vu dans le cours sur la trigonométrie, un angle est toujours donné module 2π. On dira donc généralement UN argument de z est … et non L'argument de z est… ATTENTION !
Remarques : - le nombre complexe 0 n'a pas d'argument. - l'argument d'un réel non nul est de la forme k où k est un entier relatif. - l'argument d'un imaginaire pur est de la forme k /2 où k est un entier relatif.
Un nombre complexe correspond à une extension d'un nombre réel, sans représentation dans le monde sensible. Utilisé pour résoudre des équations mathématiques complexes, il peut être algébrique, vectoriel ou encore exponentiel.
On appelle argument d'un nombre complexe non nul z une mesure θ de l'angle orienté ( u → , OM → ) . C'est un nombre réel défini modulo 2 π et noté arg ( z ) . On a donc : z = ∣ z ∣ . ( cos ( θ ) + i sin ( θ ) ) .
Théorème - Définition : On peut toujours écrire un nombre complexe z sous la forme : z = |z|(cos(θ)+i sin(θ)), avec θ = arg(z). On appelle ceci la forme trigonométrique de z. cos(θ) = a |z| , sin(θ) = b |z| . Exemple : Calculer |z| et arg(z) pour z = 1+i.
Le complexe associé à un point est appelé l'affixe de ce point. Une affixe est constituée d'une partie réelle et d'une partie imaginaire correspondant respectivement à l'abscisse et l'ordonnée du point.
Le module d'un quotient est égal au quotient des modules : |zz′|=|z||z′|.
L'exponentielle complexe est une fonction qui prolonge la fonction exponentielle réelle de base e à la variable complexe et possède les mêmes propriétés essentielles que cette dernière. est convergente. Sa somme est l'exponentielle de z, notée ez ou exp(z).
Théorème – Définition : Tout nombre complexe non nul z s'écrit sous la forme suivante : z = r (cos (θ) + i sin (θ)) avec r = |z| et θ = arg (z) [2π] Cette forme est appelée forme trigonométrique du complexe z.
Quasi-antonyme, antonyme partiel.
On dit d'une personne qu'elle est complexée lorsqu'elle est focalisée sur certains de ses défauts, réels ou imaginaires, et que cela entraîne un sentiment d'infériorité. La personne complexée a donc une perception déformée d'elle-même.
Les complexes proviennent très souvent d'un sentiment d'infériorité par rapport à tel ou tel défaut ou manque, qu'il soit réel ou imaginaire. On a tendance alors à se focaliser sur ce complexe qu'il soit un défaut physique ou intellectuel ou lié à l'argent… et à ne plus pouvoir penser à autre chose.