Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite. Une suite (un) est convergente vers un nombre réel l si, pour tout intervalle I centré en l, il existe un rang p, à partir duquel les termes de cette suite appartiennent à I.
Une suite est dite convergente si ses termes ont une limite finie quand n tend vers +∞. Créé par Sal Khan.
Une suite u est dite convergente vers un point l (pas nécessairement unique) dans un espace topologique X lorsque tout voisinage de l contient tous les termes de la suite à partir d'un rang suffisamment grand ; une série est convergente lorsque la suite de ses sommes partielles l'est.
2/ Théorèmes de convergence
* Si (un) est croissante et majorée alors (un) converge. La suite « monte » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie. * Si (un) est décroissante et minorée alors (un) converge. La suite « descend » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie.
La convergence est l'action de converger, donc de se rapprocher, de se diriger vers un seul et même point. La divergence est le fait de diverger, c'est-à-dire de s'éloigner, de s'écarter de plus en plus.
Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite.
Proposition : Si la série ∑n≥0un(x) ∑ n ≥ 0 u n ( x ) converge normalement sur I , alors la suite des sommes partielles SN(x)=∑Nn=0un(x) S N ( x ) = ∑ n = 0 N u n ( x ) converge uniformément vers une fonction S sur I .
Théorème : Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée. En particulier, on rappelle que si 0≤un≤vn 0 ≤ u n ≤ v n , alors : si ∑vn ∑ v n converge, alors ∑un ∑ u n converge.
On dit que (fn) converge simplement vers f sur I si : ∀ε>0, ∀x∈I, ∃n0∈N tel que ∀n≥n0, |fn(x)−f(x)|≤ε.
Dire qu'une série diverge ne signifie pas que les sommes partielles tendent vers l'infini : Par exemple, la série de terme général un = (-1)n est divergente.
Pour montrer que ( ) ne converge pas uniformément sur vers , il suffit de trouver une suite ( ) de points de telle que la suite ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) ne tende pas vers 0 lorsque tend vers .
En effet, si |xn| ≤ K pour tout n > N alors |xn| ≤ M pour tout n, en posant M = max(|x0|, |x1|, … , |xN|, K). Toute suite convergente est par conséquent bornée (par exemple la suite un = (–1)n/(n + 1), qui converge vers 0, reste comprise entre u1 = –1/2 et u0 = 1).
MÉTHODE 1. –
Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un), on peut utiliser l'une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 − un. ▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante.
- Si la suite est décroissante nous avons ua ≥ ua+1 ≥ ua+2 ≥ ... ≥ un et elle est, de fait, majorée par son premier terme ua . - Si une suite est croissante ou si elle est décroissante, elle est dite monotone.
— Convergence simple : La suite de fonctions (fn) converge simplement vers la fonction nulle. En effet pour chaque x > 0 fixé, fn(x) = 0 pour tout n > 1/x, donc limfn(x)n→+∞ = 0, et on a aussi fn(0) = 0 pour tout n, donc fn(0) → 0 quand n → +∞.
(Xn) converge en loi vers X si, notant Fn la fonction de répartition de Xn et F celle de X , en tout réel x où F est continue, on a : Fn(x)→F(x).
Chercher le signe de . Comparer le quotient et le réel 1 pour une suite à termes strictement positifs. Etudier, sur , le sens de variation de la fonction telle que . Conjecturer à l'aide des premiers termes du sens de variation de la suite puis justifier cette conjecture à l'aide d'un raisonnement par récurrence.
On considère donc une série ∑ u n à termes réels. On a, pour tout : u n + ≤ | u n | et u n − ≤ | u n | . Ainsi, si la série ∑ | u n | est convergente, il en est de même des séries ∑ u n + et ∑ u n − , et donc de la série ∑ u n .
On dit qu'une suite un converge vers un réel L si pour tout intervalle ouvert U contenant L, tous les termes de la suite appartiennent à U sauf un nombre fini. L est la limite de la suite un et elle est unique. Une suite est divergente si elle n'est pas convergente.
Pour montrer qu'une suite est arithmétique, il faut démontrer que u n + 1 − u n est une constante, pour tout . Pour calculer la raison d'une suite arithmétique, nous pouvons utiliser la définition par récurrence d'une suite arithmétique, u n + 1 = u n + r .
Propriété : Toute suite convergente est bornée. Donc si une suite n'est pas bornée, elle n'est pas convergente ! Mais, attention ! Il existe des suites bornées qui ne sont pas convergentes, par exemple la suite de terme général .
Par le principe de récurrence, P(n) P ( n ) est vraie pour tout entier n n et on a bien démontré que la suite (un) ( u n ) est croissante. Si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes, alors elles convergent vers la même limite.
Sens de variation, convergence et majoration/minoration
Si une suite est croissante et converge vers L, alors elle est majorée par L. Si une suite est décroissante et converge vers L, alors elle est minorée par L.
Ainsi, en un point, si la divergence est nulle, alors la densité ne varie pas ; si elle est positive en ce point, alors il y a diffusion.