Deux vecteurs sont opposés s'ils ont la même direction et la même norme, mais qu'ils sont de sens contraire.
Un vecteur est dit « opposé » à un autre vecteur si il à la même direction ,la même norme , mais il est de « sens contraire ». 2°) Coordonnées d'un vecteur et de son opposé : Remarque : la somme de deux vecteurs colinéaires égaux opposés est égal au vecteur nul .
Vecteurs opposés
On dit que les vecteurs A B → et B A → sont opposés et on note A B → = − B A → .
Le produit scalaire de deux vecteurs s'annule quand les vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires). Cette propriété est souvent utilisée dans les exercices. Quand un des vecteurs est une vecteur unitaire de la base orthonormée, on retrouve directement la projection orthogonale du vecteur.
Un vecteur, généralement noté →u , est un objet mathématique qui possède à la fois une grandeur, une direction et un sens. La direction et le sens constituent l'orientation du vecteur.
On distingue trois types de vecteurs: vecteurs libres, glissants et liés.
possède trois éléments caractéristiques : sa direction (droite (AB)) ; son sens (il y a deux sens possibles de parcours de la droite (AB) : de A vers B ou de B vers A) ; sa norme (ou sa longueur, la longueur du segment [AB]).
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite. sont parallèles.
La norme du vecteur est donnée dans un repère orthonormé par la formule suivante : √(x² + y²) ou √(x² + y² + z²). * Pour calculer la norme d'un vecteur du plan, laissez la case z vide. Exemples : Calculons la norme du vecteur du plan de coordonnées (5;12).
Lorsque deux points A et B sont confondus, on dit que le vecteur A B → \overrightarrow{AB} AB est un vecteur nul et on note 0 ce vecteur. Le vecteur nul a une longueur égale à 0, mais n'a ni direction, ni sens.
Une droite définit une direction, ci-dessous la direction de la droite (AB). Cependant une direction possède deux sens, ici de « A vers B » ou de « B vers A ». Définition : Deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils ont la même direction, la même longueur et qu'ils sont de sens contraire.
Lorsqu'un vecteur est représenté sur un repère, l'extrémité du vecteur est le point vers lequel se dirige la flèche. On peut la considérer comme l'endroit vers lequel pointe le vecteur. D'après la figure, on voit que ( − 7 ; − 1 ) est l'extrémité. L'origine est le point de départ de la flèche.
Dans le plan muni du repère (O,I,J) on considère les points A(xA, yA) et B(xB, yB). Les coodonnées du vecteur AB sont (xB – xA, yB – yA).
Deux vecteurs A B → et C D → sont égaux si et seulement si : les droites (AB) et (CD) sont parallèles, On va de A vers B et de C vers D en se déplaçant dans le même sens, les longueurs AB et CD sont égales.
Les vecteurs ⃑ ? et ⃑ ? sont parallèles si, et seulement si, ce sont des multiples scalaires l'un de l'autre : ⃑ ? = ? ⃑ ? , où ? est un nombre réel non nul.
On peut utiliser la colinéarité pour démontrer que des droites sont parallèles en utilisant la propriété suivante : Les droites (AB) et (MN) sont parallèles si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.
Dans la mesure où le vecteur ⃑ ? pointe vers le bas, il peut être tentant de se dire que le signe de la norme est négatif. Cependant, il faut se rappeler qu'une longueur, donc la norme, ne peut pas être négative.
En France, les normes sont élaborées et éditées par l'AFNOR qui coordonne le système de normalisation. Au niveau international, c'est l'ISO.
Un espace vectoriel normé est donc un espace métrique homogène et la topologie associée est compatible avec les opérations vectorielles. qui montre que la norme est une application 1-lipschitzienne donc continue.
Définition de colinéaire adjectif
Mathématiques Vecteurs colinéaires, qui ont la même direction.
Propriété : Si trois points A B et C sont tels que l'angle ABC est nul, alors les points A B et C sont alignés.
Prouver un alignement de trois points
alignés si les droites (AB) et (AC) sont parallèles. sont colinéaires. Angle : trois points A, B, C sont alignés si l'angle ABC est nul ou plat. sont égaux, on retrouve le parallélisme des droites (AB) et (AC).
Un vecteur est un quantité physique qui est spécifié par avec une grandeur, une direction et un sens. Un scalaire est une quantité physique qui n'est spécifié que par sa grandeur. On peut l'exprimer avec un nombre, suivi ou non d'une unité (1 kg, 30 sec, 3 °C, ...).
On trace une flèche issue du premier point jusqu'au deuxième point. On trace une flèche issue du premier point jusqu'au deuxième point. On nomme le représentant du nom du vecteur.
La première formalisation des vecteurs est le fruit d'un travail de plusieurs mathématiciens durant la première moitié du 19e siècle. Le mathématicien allemand Bernard Bolzano (1781 – 1848), publie un livre élémentaire contenant une construction axiomatique de la géométrie.