Il est très facile de calculer le déterminant d'une matrice 2 x 2 car il y a une formule très simple. Le déterminant se calcule en multipliant les deux termes de la diagonales : a x d, puis les deux autres : b x c. On soustrait alors, ce qui donne det(A) = a x d – b x c.
Le déterminant d'une matrice diagonale ou triangulaire (supérieure ou inférieure) est égal au produit des termes de la diagonale principale. Comme pour les déterminants d'ordre 2, la valeur du déterminant est égale au produit des termes de la diagonale principale.
Si une matrice a deux lignes égales, son déterminant est nul. Si dans une matrice on ajoute à une ligne un multiple d'une autre ligne, le déterminant ne change pas. Si A est une matrice carrée d'ordre n, on a det(A)=det(At). Si A et B sont des matrices carrées d'ordre n, on a det(A⋅B)=det(A)⋅det(B).
1. On multiplie dans l'ordre, élément par élément, chaque élément d'une ligne de la première matrice A par chaque élément d'une colonne de la deuxième matrice B et ce, pour l'ensemble des éléments des deux matrices. 2. On effectue la somme de ces produits pour obtenir une nouvelle matrice.
Pour démontrer qu'une matrice A est diagonalisable, la méthode la plus classique consiste à calculer le polynôme caractéristique χA et à le factoriser pour déterminer les valeurs propres de A . Si χA n'est pas scindé, A n'est pas diagonalisable. Si χA est scindé à racines simples, A est diagonalisable.
Le déterminant se calcule en multipliant les deux termes de la diagonales : a x d, puis les deux autres : b x c. On soustrait alors, ce qui donne det(A) = a x d – b x c. Rien de bien compliqué, il faut juste connaître la formule ! Autre cas particulier très simple : les matrices diagonales et triangulaires.
Le calcul du déterminant d'une matrice carrée est un outil nécessaire, tant en algèbre linéaire pour vérifier une inversibilité ou calculer l'inverse d'une matrice, qu'en analyse vectorielle avec, par exemple, le calcul d'un jacobien.
Or les déterminants dans différentes bases sont des formes n-linéaires alternées et sont donc proportionels. Ceci nous donne : det(u1,u2,...,un)B = λ × det(u1,u2,...,un)B pour tout (u1,u2,...,un). Ce sont les formules de changement de base des déterminants de vecteurs.
Propriétés. Le déterminant est nul si et seulement si les deux vecteurs sont colinéaires (le parallélogramme devient une ligne).
Un déterminant est un mot, souvent court, qui précède un nom et le détermine, c'est-à-dire qu'il en indique le genre (féminin ou masculin) et le nombre (singulier ou pluriel). Le déterminant s'accorde en genre et en nombre avec le nom qu'il introduit.
Soit deux vecteurs et de composantes (x,y) et (x',y') dans une base ( , ). Le déterminant de ( , ) dans la base ( , ) est le réel xy'-yx'. Notation : det( , )= =xy'-yx'.
On rappelle qu'une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant n'est pas égal à zéro. On peut voir que l'ordre de la matrice donnée est 2 × 2 , ce qui signifie qu'il s'agit d'une matrice carrée.
En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que ai,j = aj,i pour tous i et j compris entre 1 et n, où les ai,j sont les coefficients de la matrice et n est son ordre.
Analyser un déterminant Savoir-faire
Il peut être de plusieurs catégories (article, possessif, démonstratif, etc.) et varie en genre et en nombre selon le mot qu'il détermine. Analyser un déterminant revient à donner sa catégorie, le nom qu'il détermine, son genre et son nombre.
Ces quatre champs sont : les caractéristiques individuelles; • les milieux de vie; • les systèmes; • le contexte global.
La diagonalisation d'une matrice est utilisée dans la recherche de puissance de matrices à un ordre n ∈ N ∗ . En effet, de D = P − 1 A P en prémultipliant par et en postmultipliant par , nous avons : P D P − 1 = P P − 1 A P P − 1 = A ⇒ A = P D P − 1 .
Soit λ ∈ Cl valeur propre de A et x un vecteur propre associé, alors Ax = λx, et comme · est une norme induite, on a : λx = |λ|x = Ax ≤A x. On en déduit que toute valeur propre λ vérifie λ ≤ A et donc ρ(A) ≤ A.
Couple de nombres qui représentent le nombre de lignes et le nombre de colonnes d'un matrice. La dimension d'une matrice est synonyme de taille de cette matrice. Si une matrice comporte 3 lignes et 5 colonnes, on dira qu'elle est de dimension 3 par 5.