La formule de l'espérance est 𝐸 ( 𝑋 ) = 𝑥 ⋅ 𝑃 ( 𝑋 = 𝑥 ) , où 𝑥 représente chacune des valeurs possibles de la variable aléatoire discrète 𝑋 et 𝑃 ( 𝑋 = 𝑥 ) est la probabilité que chacun de ces résultats se réalise.
Espérance d'une fonction de v.a. r(x)P(X = x). – Cas continu : Si X a pour densité fX et Y = r(X), alors E(r(X)) = E(Y ) = ∫ yfY (y)dy = ∫ r(x)fX(x)dx.
L'espérance d'une variable aléatoire E(X) correspond à la moyenne des valeurs possibles de X pondérées par les probabilités associées à ces valeurs. C'est un paramètre de position qui correspond au moment d'ordre 1 de la variable aléatoire X. C'est l'équivalent de la moyenne arithmétique ˉX.
Définition 1.6 • L'espérance du couple (X, Y ) est définie si X et Y sont intégrables et on a alors : E(X, Y )=(E(X),E(Y )). cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))].
L'espérance et la variance d'une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres n et p sont obtenues grâce aux formules E(X)=np et V(X)=np(1−p).
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre p alors : l'espérance de X est E(X) = p ; la variance de X est V(X) = p(1 – p)
En statistiques et en analyse de probabilité, la valeur attendue est calculée en multipliant chacun des résultats possibles par la probabilité que chaque résultat se produise, puis en additionnant toutes ces valeurs .
E(XY ) = E(X)E(Y ) est généralement vrai SEULEMENT si X et Y sont INDÉPENDANTS . 2. Si X et Y sont indépendants, alors E(XY ) = E(X)E(Y ). Cependant, l’inverse n’est généralement pas vrai : il est possible que E(XY ) = E(X)E(Y ) même si X et Y sont dépendants.
On dit que X admet une variance si X admet une espérance E(X)=m E ( X ) = m et si la variable aléatoire (X−E(X))2 ( X − E ( X ) ) 2 admet une espérance, autrement dit si l'intégrale ∫+∞−∞(x−m)2f(x)dx ∫ − ∞ + ∞ ( x − m ) 2 f ( x ) d x est convergente.
On peut interpréter l'espérance mathématique de la variable comme le gain moyen que l'on peut espérer d'un jeu si l'on joue un très grand nombre de fois. C'est le « gain moyen ». Si E(x) = 0 le jeu est dit équitable, si E(x) > 0 le jeu et dit favorable (au joueur) et si E(x) < 0 le jeu et dit défavorable (au joueur).
L'espérance mathématique est la somme des produits des valeurs d'une variable aléatoire par leur probabilité.
La moyenne des résultats se rapprochent donc de l'espérance de la loi de probabilité. L'espérance est donc la moyenne que l'on peut espérer si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois.
On démontre que V= ( (Σ x²) / N ) - μ². Cette formule est plus simple à appliquer si on calcule la variance à la main. Créé par Sal Khan. Les discussions ne sont pas disponibles pour le moment.
To find the expected value, E(X), or mean μ of a discrete random variable X, simply multiply each value of the random variable by its probability and add the products.
valeur attendue, en général, la valeur qui est le plus probablement le résultat du prochain essai répété d'une expérience statistique . La probabilité de tous les résultats possibles est prise en compte dans les calculs de la valeur attendue afin de déterminer le résultat attendu lors d'un essai aléatoire d'une expérience.
Espérance. Soit X une variable aléatoire continue suivant une loi normale N(μ,σ) dont la valeur des paramètres n'est pas connue et pour laquelle on souhaite estimer l'espérance μ. lorsque n→∞V(ˉX)ε2=σ2nε2 et ceci ainsi en limite, P(|ˉX−μ|≥ε)=0 ce qui indique que ˉX→μ en probabilité.
On appelle loi conditionnelle de Y sachant que (X=x) la probabilité Px définie sur Y(Ω) par ∀y∈Y(Ω),Px({y})=P(Y=y|X=x)=P(X=x,Y=y)P(X=x).
Une variable statistique est qualitative si ses valeurs, ou modalités, s'expriment de façon littérale ou par un codage sur lequel les opérations arithmétiques telles que moyenne, somme, ... , n'ont pas de sens. Exemples : Sexe de la personne interrogée, situation familiale, numéro de son département de naissance, ...
On dit qu'une variable aléatoire X est centrée (ou que sa loi est centrée) si son espérance est nulle : E ( X ) = 0.
La formule générale pour calculer la probabilité est la suivante :P. = n/NP = Probabilité d'une issue favorable lors d'un événement. n = Nombre d'issues favorables possibles. N = Nombre total d'issues possibles pour l'événement.
La valeur attendue peut être considérée comme la valeur « moyenne » atteinte par la variable aléatoire ; en fait, la valeur attendue d'une variable aléatoire est aussi appelée sa moyenne, auquel cas on utilise la notation µX. (µ est la lettre grecque mu.)
La variance de la distribution de probabilité discrète donne la dispersion de la distribution autour de la moyenne. Il peut être défini comme la moyenne des carrés des différences de la distribution par rapport à la moyenne, μ μ . La formule est donnée ci-dessous : Var[X] = ∑(x - μ μ ) 2 P(X = x)
Exemple : On réalise une épreuve aléatoire dont la probabilité d'un succès est p. p . Si X est la variable aléatoire qui vaut 1 s'il y a succès, 0 sinon, alors X suit une loi de Bernoulli de paramètre p. p .
La relation de Bernoulli s'écrit de la manière suivante. Les points A et B ont la même coordonnée verticale (zA = zB), cette relation peut donc se réécrire : On a vA > vB donc vA2 > vB2. On en déduit la relation d'ordre entre les pressions exercées par le fluide aux points A et B.