Forme explicite : si la suite (un) est arithmétique de raison r et de premier terme u0, alors pour tout entier naturel n, un = u0 +nr. Plus généralement, pour tous entiers naturels n et p, un = up +(n −p)r. Somme des n premiers termes d'une suite arithmétique : S = u0 +u1 +···+un = (n +1)(u0 +un) 2 .
Le terme général d'une suite arithmétique (Un) est donné par la formule suivante: Un = Up + (n-p)×r (où Up est le terme initial). Cas particulier si U0 est le terme initial, alors Un=U0+nr. Toute suite arithmétique est caractérisée par sa raison r et son premier terme.
La raison d'une suite arithmétique, dont le premier terme u1 est égal à a , est donnée par la formule : r=un−an−1 r = u n - a n - 1 . Ce résultat signifie que, pour déterminer la raison, il faut retrancher au dernier terme le premier, puis diviser le résultat obtenu par le nombre de termes diminué de 1.
Suites arithmétiques
Il existe une formule pour calculer la valeur de n'importe quel terme d'une suite arithmétique, à condition de connaître la raison et le premier terme de la suite. La formule à utiliser est : u n = u 0 + n r où est le premier terme de la suite arithmétique et sa raison.
Autrement dit : u0∈ℝ est donné et pour tout entier naturel n : un+1=un+r , Si le terme initial est u0. Si la suite commence au rang 1, on commence à partir de u1.
un est le terme général de la suite (un), le terme de rang n ou le terme d'indice n. u0 est le terme initial de la suite (un).
Pour calculer la raison d'une suite arithmétique, il faut soustraire un des termes de la suite du terme suivant. Rappelons que la raison d'une suite arithmétique est la différence entre n'importe quels deux termes consécutifs de la suite.
Exemple : Considérons une suite numérique (un) où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5. Si le premier terme est égal à 3, les premiers termes successifs sont : u0 = 3, u1 = 8, u2 = 13, u3 = 18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3.
Pour déterminer la raison, nous pouvons calculer la différence entre deux termes consécutifs. Par exemple, la différence entre les deux premiers termes est : 1 9 − 1 2 = 7 . Ceci nous indique que la raison de cette suite arithmétique est égale à 7.
Par définition, une suite arithmétique est une suite où chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et d'un nombre fixe. Par exemple, la suite. est une suite arithmétique car chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et de .
∑ [terme général d'une suite arithmétique] = [nombre de termes] × [premier terme] + [dernier terme] 2 .
Pour une suite géométrique de raison –0,3 et de premier terme u0 = 7, on peut écrire un = u0 × (–0,3)n et ainsi connaitre directement la valeur de n'importe quel terme de la suite. Par exemple, u4 = 7 × (–0,3)4 = 7 × 0,0081 = 0,0567.
En mathématiques, la raison est la valeur qui permet de passer d'un terme au suivant dans certaines suites définies par récurrence.
La somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q et de premier terme a est donnée par la formule : a(1-qⁿ)/(1-q). Dans cette vidéo, on donne une justification assez simple de cette formule.
La raison d'une suite arithmétique est la différence entre deux termes consécutifs. Pour une suite géométrique, il s'agit du rapport de deux termes consécutifs.
Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u1 = a, a étant un réel non nul. On a donc un = aqn−1. Pour trouver la raison d'une suite géométrique, si l'on connaît le premier et le dernier de n termes consécutifs, il faut extraire la racine (n−1)ième du quotient du dernier terme par le premier.
La nature d'une suite (convergence ou divergence) ne dépend que de son comportement quand n → + ∞ ; on dit encore à partir d'un certain rang. On peut en particulier modifier les termes d'une suite pour un nombre fini d'indices sans en changer la nature.
La somme des 𝑛 premiers termes d'une suite arithmétique peut être calculée en utilisant la formule 𝑆 = 𝑛 2 ( 2 𝑇 + ( 𝑛 − 1 ) 𝑟 ) , où 𝑇 est le premier terme et 𝑟 est la raison.
Une suite est définie par une formule explicite lorsque u n u_n un s'exprime directement en fonction de n. Dans ce cas, on peut calculer chaque terme à partir de son indice.
En règle générale, on utilise la première version si 𝑅 < 1 et la seconde si 𝑅 > 1 . Si 𝑅 = 1 , tous les termes de la suite géométrique sont identiques, donc il suffit de multiplier le premier terme par le nombre de termes pour trouver la somme : 𝑆 = 𝑇 × 𝑁 .
Pour déterminer la raison d'une suite géométrique donnée, on divise n'importe quel terme de la suite par le terme précédent. Par exemple, on peut diviser le troisième terme par le deuxième terme ou le deuxième terme par le premier terme ; dans les deux cas, on trouve le même nombre si la suite est géométrique.
Pour montrer qu'une suite (Un) n'est pas arithmétique, il suffit de calculer les 3 premiers termes U0, U1 et U2 (ou parfois les 4 ou 5 premiers, si les 3 premiers ne suffisent pas) et de constater que U_2 - U_1 \ne U_1 - U_0.
Lorsque la régularité n'est pas constante, la suite numérique sera dit non arithmétique. Cette suite est non arithmétique puisque la régularité n'est pas la même entre chaque terme de la suite.
Le nième terme d'une suite arithmétique est égal à la somme du premier terme et du produit de la raison par (n-1). Le nième terme de la suite est donc donnée par la formule suivante : a+r(n−1) a + r ( n − 1 ) .
5. U5 = U2 + 3r ⇔ 25=7+3r ⇔ r = 6. U0 = U2 − 2r = 7 − 2 × 6 = −5. Soit l'énoncé indique que l'on passe d'un terme au terme suivant en ajoutant toujours le même nombre, alors on peut conclure directement que la suite est arithmétique de raison égale à ce nombre.