Pour convertir un nombre décimal en nombre binaire (en base B = 2), il suffit de faire des divisions entières successives par 2 jusqu'à ce que le quotient devienne nul. Le résultat sera la juxtaposition des restes. Le bit de poids fort correspondant au reste obtenu à l'ultime étape de la division.
Compter avec le système binaire
On compte 0, puis 1, et puis on n'a déjà plus de symboles de base. Donc on réutilise les symboles et on ajoute un bit à gauche : 2 en décimal s'écrit donc 10 en binaire, 3 s'écrit 11, 4 s'écrit 100, etc. En base 2, chaque bit à gauche de l'unité représente une puissance de 2.
La base 2 fait intervenir deux chiffres : 0 et 1. On se demande à quel nombre correspond l'écriture en base 2 suivante : $overline{10111}^2$. On décompose alors ce nombre en faisant intervenir des puissances de 2 successives.
on utilise un nombre petit de symboles (les chiffres) dont la valeur dépend de la position. Chaque décalage vers la gauche du symbole le multiplie par une certaine quantité appelée la base. Par exemple, en écriture décimale 2345 signifie 5+4×10+3×100+2× 1000. C'est ce que l'on appelle la numération de position.
Pour compter en binaire, comme en décimal, on commence à 0. Ensuite on ajoute 1, ce qui donne 1. Si l'on continue de compter, on va rajouter 1. Or, il est dit juste au-dessus que « nous changeons de rang arrivé au dernier chiffre, 1 ».
Il suffit de convertir la valeur de chacun des chiffres sous leur forme binaire en utilisant un nombre de chiffres correspondant à la puissance de la base : 16 = 24, 8 = 23, donc 4 chiffres pour l'hexadécimal et 3 pour l'octal : 1A2F16 va s'écrire 1 ⇒ 0001, A ⇒ 1010, 2 ⇒ 0010, F ⇒ 1111, soit 0001 1010 0010 11112.
La valeur de départ, appelée valeur de base, prend la valeur d'indice 100. On calcule ensuite l'indice d'arrivée en divisant la valeur de la variable à la date finale par sa valeur de départ, puis en multipliant le tout par 100.
Pour passer du binaire en octal : on parcourt le nombre binaire de la droite vers la gauche en regroupant les chiffres binaires par paquets de 3 (en complétant éventuellement par des zéros). Il suffit ensuite de remplacer chaque paquet de 3 par le chiffre octal.
Conversion binaire-décimal
Le premier rang (en partant de la droite) est le rang 0, le second est le 1, etc. Pour convertir le tout en décimal, on procède de la manière suivante : on multiplie par 20 la valeur du rang 0, par 21 la valeur du rang 1, par 22 la valeur du rang 2, [...], par 210 la valeur du rang 10, etc.
Pour convertir un nombre décimal en nombre binaire (en base B = 2), il suffit de faire des divisions entières successives par 2 jusqu'à ce que le quotient devienne nul. Le résultat sera la juxtaposition des restes.
Ainsi, 110110012=1101 10012=D916, tandis que 7F16=0111 11112=011111112. Attention, si le nombre binaire de départ n'a pas un nombre de bits multiple de 4, il faut ajouter des zéros en tête (ce qui ne change pas sa valeur) afin de pouvoir les regrouper 4 par 4.
Comment fonctionne le système binaire ? Comme dit plus haut, le système binaire utilise la notation positionnelle avec le multiplicateur 2. Le premier chiffre à droite se multiplie par 20, le second par 21, le troisième par 22, etc. Ainsi, 11 en binaire est égal à 1 x 21 + 1 x 20, soit 23 en décimal.
En binaire, c'est-à-dire en base 2, il n'y a que deux chiffres : 0 et 1. On peut donc représenter chaque chiffre en utilisant seulement un doigt : - si le doigt est baissé, il représente 0, - si le doigt est levé, il représente 1.
"01101010 01100101 00100000 01110100 00100111 01100001 01101001 01101101 01100101" signifie "je t'aime" en binaire.
Dans la soustraction binaire, on procède comme en décimal. Quand la quantité à soustraire est supérieure à la quantité dont on soustrait, on emprunte 1 au voisin de gauche. En binaire, ce 1 ajoute 2 à la quantité dont on soustrait, tandis qu'en décimal il ajoute 10.
La méthode la plus simple pour convertir un nombre décimal en binaire est la méthode euclidienne. On divise le décimal par 2, on note le reste de la division 1 ou 0. On réapplique le même procédé avec le quotient précédent, et on met de nouveau le reste de côté. On réitère la division jusqu'à ce que le quotient soit 0.
Pour poser une addition en base 4, on utilise exactement les mêmes règles que d'habitude, il faudra juste faire très attention en additionnant et en ajoutant les retenues. Exemple : le nombre 14 s'écrit 32 en base 4, et le nombre 11 s'écrit 23 en base 4. restante : 1+3+2=12, j'inscrit mon résultat.
Ainsi la valeur de départ (ou éventuellement une autre valeur) devient 100. Supposons que le vrai montant était de 3 500 et que le montant suivant est de 4 200. À combien celui-ci s'établit-il en base 100 ? Il suffit de faire un produit en croix : 3500x 3 500 x = 4200×100 4 200 × 100 donc x=120.
Il mesure la variation relative de la valeur entre la période de base et la période courante. Souvent, on multiplie le rapport par 100 ; on dit : indice base 100 à telle période. Les indices permettent de calculer et de comparer facilement les évolutions de plusieurs grandeurs entre deux périodes données.
◗ Entre indice et coefficient multiplicateur : L'indice correspond à (valeur d'arrivée x 100)/valeur de départ, la valeur de l'année de départ étant choisie comme base, ayant la valeur 100. Il est donc équivalent au coefficient multiplicateur multiplié par 100.
Soustraction de deux nombres binaires :
- Colonne du bit 1 : 1 - 0 = 1 ; - Colonne du bit 2 : 1 - 1 = 0 ; - Colonne du bit 3 : 0 - 1 = 1 avec une retenue de 1.
1 octet = 8 bits => 256 combinaisons possibles
Vous remarquez que le nombre de bits et l'exposant de 2 sont les mêmes, donc avec 16 bits on peut obtenir 216 combinaisons soit 65536.