Pour construire une suite (un), on peut préciser la valeur de chaque terme. Cette méthode utilise une fonction qui donne la valeur d'un terme en fonction de son rang, c'est-à-dire une fonction définie par un=f(n), comme f(n)=3n2−2n+4 ou f(n)=1n.
Le terme u0 est placé sur l'axe des abscisses. Pour placer les termes u1, u2 … sur l'axe des abscisses, on utilise la droite ∆ ; elle permet de reporter sur l'axe des abscisses des valeurs portées sur l'axe des ordonnées. À partir de la valeur de u0, on a construit dans l'ordre les points B, B', C, C', D, D'…
On place, sur l'axe des abscisses, le point de coordonnées ( U 0 ; 0 ) (U_0 ; 0) (U0;0) représentant le premier terme de la suite. Pour trouver U 1 = f ( U 0 ) U_1 = f(U_0) U1=f(U0) il faut lire l'ordonnée du point A 1 A_1 A1 de la courbe C f C_f Cf.
Pour calculer u2, on suit le même raisonnement. On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un+2=3×un+1−2×un. De plus, on sait que u0=4 et u1=3.
Définition : Une suite est une « succession » de nombres réels. Ces nombres réels sont les termes de la suite. Une suite (un) associe, à tout entier n, un nombre réel noté un et appelé le terme général de la suite. La notation un est la notation indicielle, n est appelé l'indice ou le rang.
Une suite (vn)est dite géométrique lorsqu'il existe un nombre réel non nul q tel que, pour tout entier naturel n, vn+1=q×vn. Le nombre réel q est appelé la raison de la suite (vn).
La plupart des suites sont définies de cette manière : un terme initial et une relation de récurrence entre un terme et son suivant. C'est la définition classique par récurrence. Cependant il arrive que la suite soit directement définie par une formule générale qui te donne U_n en fonction de n.
Une suite (un) est géométrique si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1=a×un où a est un nombre indépendant de n. Pour démontrer qu'un suite est géométrique, on peut donc montrer qu'elle respecte bien la relation un+1=a×un. Donc (un) est géométrique de raison a.
Ici, dans les expressions obtenues, on aura u1 en fonction de u0 ; u2 en fonction de u1 ; u3 en fonction de u2... Comme u0 = 1, on a u0+1 = −3u0 +2 soit u1 = −3×1+2 = −1 u1+1 = −3u1 +2 soit u2 = −3×(−1)+2 = 5 u3 = −3u2 +2 = −3×5+2 = −13 u4 = −3u3 +2 = −3×(−13)+2 = 41 u5 = −3u4 +2 = −3×41+2 = −121. 2.
Si la suite est définie par récurrence
Si \left(u_n\right) est définie par récurrence, on calcule chaque terme à partir du (ou des) terme(s) précédent(s). On peut donc calculer un à un les premiers termes de la suite. Donner les valeurs de u_0, u_1 et u_2.
Exemple : Considérons une suite numérique (un) où le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 2. Si le premier terme est égal à 5, les premiers termes successifs sont : u0 = 5, u1 = 10, u2 = 20, u3 = 40. Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5.
→ U10 = U1 + 9 x 5
Plus généralement, exprimer Un en fonction de U1 et n.
Pour le trouver, soustrayez le premier terme du deuxième. Dans notre exemple, le premier terme est 107, le suivant est 101, la raison est donc de -6 (101 - 107 = -6 X Source de recherche ).
Solution 3. La suite est 10, 20, 40, 80, 160. La somme est 310.
C'est au mathématicien, physicien, inventeur, philosophe, moraliste et théologien français Blaise Pascal(1623-1662) dans son Traité du triangle arithmétique écrit en 1654 mais publié en 1665, que l'on attribue la première utilisation tout à fait explicite du raisonnement par récurrence.
La suite (un) est décroissante.
Pour autant, un mystère demeure : selon l'œuvre de Douglas Adams, le nombre 42 serait la réponse à « la grande question sur la vie, l'univers et le reste ».
La bonne réponse est 22. En effet, à partir du 3ème nombre, chaque nouveau nombre est le résultat de l'addition des deux nombres précédents moins 1.
L'Équation de Navier-Stoke.
La raison d'une suite arithmétique, dont le premier terme u1 est égal à a , est donnée par la formule : r=un−an−1 r = u n - a n - 1 . Ce résultat signifie que, pour déterminer la raison, il faut retrancher au dernier terme le premier, puis diviser le résultat obtenu par le nombre de termes diminué de 1.
Dire qu'une suite u est arithmétique signifie qu'il existe un nombre r tel que, pour tout entier naturel n, un+1 = un + r. Le nombre r est appelé la raison de la suite (un). Autrement dit, on passe d'un terme d'une suite arithmétique au terme suivant en ajoutant toujours le même nombre r.
Un+1 - Un = [5n + 5 + 3] - [5n +3]. Un+1 - Un = [5n + 8] - [5n +3]. Un+1 - Un = 5n + 8 - 5n - 3 Un+1 - Un = 5. La différence Un+1 - Un est un réel ne dépendant pas de n (constant), donc la suite (Un) est arithmétique de raison r=5 et de premier terme U0= 3.