Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires. Exemple : On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH : Les droites (AB) et (CG) sont orthogonales car la parallèle (DC) à (AB) est perpendiculaire en C à (CG).
Deux droites (d) et (d') sont orthogonales si et seulement si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.
Lorsque nous apprenons l'algèbre linéaire, si deux vecteurs sont orthogonaux, alors le produit scalaire des deux sera égal à zéro . Ou nous pouvons dire que si le produit scalaire de deux vecteurs est nul, alors ils sont orthogonaux.
On rappelle que deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul.
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, u ⋅v =0.
Une fois que nous aurons nos vecteurs, qu'ils nous aient été donnés ou que nous les ayons calculés en utilisant trois points du plan, nous prendrons leur produit vectoriel. Nous allons maintenant prendre le produit vectoriel de ⃗ AB⃗ et ⃗ AC⃗ . C'est le vecteur orthogonal au plan qui comprend les points donnés.
De l'énoncé précédent, on peut conclure que pour vérifier l'orthogonalité d'une droite et d'un plan, il suffit que la droite soit perpendiculaire à deux droites non parallèles dans le plan ou à deux droites non parallèles parallèles à l'avion .
Dans l'espace, deux droites sont orthogonales si elles sont chacune parallèles à des droites se coupant en angle droit ; deux perpendiculaires étant deux droites orthogonales et sécantes.
Théorème Tout ensemble orthogonal de vecteurs est linéairement indépendant .
Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs pentes est égal à -1. Autrement dit, si m1 et m2 sont les pentes de deux droites, alors elles sont perpendiculaires si m1 * m2 = -1.
Compute their scalar product. If it is 0, they are orthogonal. In fact, this is the definition of being orthogonal. If no scalar product is defined, there is no concept of orthogonal.
Comme a1,a2,a3 sont orthogonaux, on se retrouve avec les trois égalités suivantes, où a⋅b désigne le produit vectoriel entre les vecteurs a et b. Mais (ak⋅ak)>0, pour k∈{1,2,3}. Nous ne pouvons satisfaire les égalités ci-dessus que si c1=c2=c3=0 , prouvant ainsi que l'ensemble des vecteurs orthogonaux est linéairement indépendant.
Pour montrer que les vecteurs sont linéairement indépendants, on résout le système associé à l'équation vectorielle a \vec{u}+b \vec{v}+c \vec{w}=\overrightarrow{0} : on doit obtenir a=b=c=0. Les vecteurs étant linéairement indépendants, ils forment une base de l'espace.
Definition. - par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. Les vecteurs et sont dits orthogonaux si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
L'orthogonal d'un sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs de est égal à l'orthogonal de cette famille : si F = V e c t ( { u 1 , u 2 , . . . , u p } ) alors F ⊥ = { u 1 , u 2 , . . . , u p } ⊥ .
Deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement perpendiculaires, elles ne le sont que si elles sont coplanaires. Deux droites orthogonales à une même troisième ne sont pas nécessairement parallèles. Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.
Supposons que a et b soient deux vecteurs. I) Si a et b sont des vecteurs orthogonaux ; ils sont perpendiculaires l'un à l'autre et agissent tous deux par un point commun . Le produit scalaire de a et b est nul. II) Si a et b sont des vecteurs parallèles ; les produits vectoriels (a X b) et (b X a) sont tous deux nuls.
Non. Pour constituer une base, il suffit d'une indépendance linéaire et elles doivent s'étendre sur l'espace . Par exemple {[1,0,0],[−1,−1,1],[−1,0,−1]} { [ 1 , 0 , 0 ] , [ − 1 , − 1 , 1 ] , [ − 1 , 0 , − 1 ] } est une base pour R3 et elle n'est pas orthogonale. Ces trois vecteurs sont linéairement indépendants.
Lignes orthogonales et mathématiques
En géométrie euclidienne, les objets orthogonaux sont liés par leur perpendiculaire les uns aux autres. Les lignes ou les segments de ligne perpendiculaires à leur point d'intersection sont dits liés orthogonalement. De même, deux vecteurs sont considérés comme orthogonaux s’ils forment un angle de 90 degrés.
La formule pour cela est de transposer les valeurs x et y et de changer le signe de l'une d'elles . Par exemple, le vecteur u = [a;1;0] est orthogonal à p. v = [-a;-1;0] est également orthogonal.
Le projeté orthogonal de M sur le plan P est le point H appartenant à P tel que (MH) P. Le point H est le point du plan P le plus proche de M. La longueur MH est appelée distance du point M au plan P. Si M ∈ P, alors M et H sont confondus, donc MH = 0.
Pour trouver le vecteur orthogonal au plan, nous devons connaître deux vecteurs sur ce plan. Prenez ensuite le produit vectoriel de ces vecteurs et ce sera le vecteur orthogonal au plan . Si le produit vectoriel est nul, essayez le produit vectoriel avec différents vecteurs sur le plan. Trouvez d’abord les vecteurs de position des points.
Des vecteurs V 1 , … , V n sont linéairement dépendants s'ils possèdent une relation de dépendance linéaire, ∑ i = 1 n λ i V i = 0 (avec les non tous nuls). On peut dire aussi qu'ils forment une famille liée. Toute famille qui contient une famille liée est liée.
Étant donné un ensemble de vecteurs, vous pouvez déterminer s'ils sont linéairement indépendants en écrivant les vecteurs sous forme de colonnes de la matrice A et en résolvant Ax = 0 . S’il existe des solutions non nulles, alors les vecteurs sont linéairement dépendants. Si la seule solution est x = 0, alors ils sont linéairement indépendants.
Deux vecteurs u et v sont colinéaires si il existe λ un réel tel que u =λv . Les coordonnées de deux vecteurs colinéaires sont proportionnelles. u (−3 ;9) et v (1 ;−3) sont colinéaires car u =−3v .