Lorsque deux points A et B sont confondus, on dit que le vecteur A B → \overrightarrow{AB} AB est un vecteur nul et on note 0 ce vecteur. Le vecteur nul a une longueur égale à 0, mais n'a ni direction, ni sens.
Il y a seulement un vecteur dont la longueur est égale à zéro, et nous appelons ce vecteur le vecteur nul : ⃑ 0 = ( 0 , 0 ) . Commençons par étudier un exemple simple de norme de vecteur.
Si le vecteur-somme est nul, les vecteurs sont alignées et de sens opposés. Le point P est au milieu du segment AB.
On regarde si les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles. Si les coordonnées sont proportionnelles, alors les vecteurs sont colinéaires. Si les coordonnées ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires. Le vecteur nul →0 est colinéaire à tout vecteur.
Déterminant de deux vecteurs
Soient u et v , deux vecteurs de coordonnées respectives (xy) et (x′y′). Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul.
Deux vecteurs non nuls sont égaux lorsqu'ils ont même direction, même sens et même longueur. Théorème : Soient A, B, C, D quatre points du plan.
Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction.
Les vecteurs ⃑ 𝐴 et ⃑ 𝐵 sont parallèles si, et seulement si, ce sont des multiples scalaires l'un de l'autre : ⃑ 𝐴 = 𝑘 ⃑ 𝐵 , où 𝑘 est un nombre réel non nul.
Comment savoir si deux vecteurs sont orthogonaux ? Pour vérifier que deux vecteurs sont orthogonaux cela revient à calculer le produit scalaire entre les deux :- s'il est nul, ils sont orthogonaux (perpendiculaires),- s'il est différent de 0 ils ne sont pas orthogonaux.
Pour déterminer si trois points sont alignés, il existe plusieurs méthodes. Les points A, B et C sont alignés ⇔ (AB) et (AC) ont le même cœfficient directeur . A(3 ; 7), B(0 ; –2) et C(1 ; 1) sont-ils alignés ? Les deux cœfficients directeurs sont égaux à 3, donc A, B et C sont alignés.
le produit vectoriel de deux vecteurs est nul si et seulement si ces deux vecteurs sont colinéaires.
, le vecteur nul est le polynôme nul. Lorsque les vecteurs sont définis à partir de bipoints équipollents, le vecteur nul est représenté par la classe des couples (A,A) formés d'un seul point A. . La dimension de l'espace nul est 0.
Propriétés de l'addition vectorielle
L'addition vectorielle est commutative : →u+→v=→v+→u. On constate que le vecteur →v+→u que l'on forme en additionnant →v et →u coïncide avec le vecteur →u+→v. L'addition vectorielle est associative : →u+(→v+→w)=(→u+→v)+→w.
Il existe un vecteur nul : il s'agit du vecteur dont l'origine et l'extrémité sont confondues. Autrement dit, soit un point A(x1, y1), le vecteur AA est le vecteur nul.
Un vecteur de norme zéro est appelé vecteur nul, et noté \overrightarrow{0}. Quel que soit le point A du plan, on a \overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}.
Un vecteur, généralement noté →u , est un objet mathématique qui possède à la fois une grandeur et une orientation (soit une direction et un sens). Tout comme son écriture l'indique, le vecteur est en fait une droite qui possède un point de départ et une flèche pour indiquer son point d'arrivée et sa direction.
Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires. Exemple : On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH : Les droites (AB) et (CG) sont orthogonales car la parallèle (DC) à (AB) est perpendiculaire en C à (CG).
Soient u et v deux vecteurs de l'espace. u et v sont colinéaires lorsqu'il existe un nombre réel λ non nul tel que u =λv ou v =λu .
Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en un point et si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Si deux droites parallèles se coupent en un point, elles se chevauchent complètement. Dans ce cas, les deux droites sont confondues.
Le déterminant est l'une des techniques qui permet de savoir si deux vecteurs sont colinéaires. S'ils se sont, le déterminant est nul. Et réciproquement, si le déterminant est nul les vecteurs sont colinéaires.
Deux vecteurs ⃗ u (x;y) et ⃗ v (x′;y′) sont colinéaires si et seulement si : Méthode 1 : x × y ′ − x ′ × y = 0 x\times y' - x'\times y=0 x×y′−x′×y=0. Méthode 2 : il existe une réel k tel que : x ′ = k x x'=kx x′=kx et y ′ = k y y'=ky y′=ky.
La norme du vecteur 𝐯 peut donc être trouvée en utilisant le théorème de Pythagore. D'après ce théorème, la longueur de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des deux côtés les plus courts. La norme de 𝐯 est donc égale à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.
Fondamental : Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs A B → et A C → sont colinéaires. Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs A B → et C D → sont colinéaires.
Pour calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs, on additionne les coordonnées de chacun des vecteurs. Pour calculer les coordonnées de la différence de deux vecteurs, on soustrait les coordonnées de chacun des vecteurs.
Et lorsque le gradient est nul ? pour − 5 ≤ x , y ≤ 5 : . est nul au point ( 0 , 0 ) et on ne peut donc pas définir de tangente à la courbe en ce point à l'aide du gradient.