Pour démontrer qu'un espace vectoriel normé E est un espace de Banach, la méthode usuelle est la suivante : on considère une suite (xn) de Cauchy de E . on fabrique une limite possible de la suite (xn) , que l'on notera x . Bien souvent, pour ce point, on utilise qu'un autre espace est complet.
Un espace métrique est complet si et seulement si toute suite décroissante de fermés non vides dont la suite des diamètres tend vers 0 a une intersection non vide (voir Théorème des fermés emboîtés).
Un R-ev V est dit complet pour la norme ·V si toute suite de Cauchy (pour cette norme) est convergente (pour cette norme). Un tel espace est aussi appelé espace de Banach.
Définition 1 Une application N : E −→ R est une norme ssi 1. ∀x ∈ E, ∀λ ∈ R, N(λx) = |λ|N(x) (homogénéité) 2. ∀x, y ∈ E, N(x + y) ≤ N(x) + N(y) (inégalité triangulaire) 3. ∀x ∈ E, N(x) ≥ 0 (positivité) 4.
Un espace métrique est compact si et seulement si de toute intersection vide de fermés de E, on peut en extraire une sous-famille finie d'intersection vide. En d'autres termes, si (Fi)i∈I est une famille de fermés telle que ⋂i∈I Fi = ∅, alors il existe J ⊂ I fini tel que ⋂i∈J Fi = ∅.
On dit que A est un ensemble compact si, muni de la topologie induite par celle de E, il devient un espace compact. Par exemple, tous les sous-ensembles finis d'un espace topologique quelconque sont des ensembles compacts.
— Un ensemble F est fermé de (X, d) si et seulement si pour toute suite conver- gente (xn)n≥1 ⊂ F on a limn→∞ xn ∈ F. — x ∈ A dans (X, d) si et seulement si il existe une suite (xn)n≥1 ⊂ A telle que xn −→ x.
Un R -espace vectoriel E muni d'un produit scalaire s'appelle un espace préhilbertien. Si E est de dimension finie, E est appelé espace euclidien. Les exemples classiques de produits scalaires sont : Sur Rn , ⟨x,y⟩=∑nk=1xkyk ⟨ x , y ⟩ = ∑ k = 1 n x k y k .
Propriété — L'application ║∙║E/F est une semi-norme sur l'espace vectoriel quotient E/F. C'est une norme si et seulement si F est fermé. est majoré par. C'est une norme si et seulement si d(x, F) = 0 implique que la classe de x est nulle, donc si F contient son adhérence, c'est-à-dire si F est fermé.
On dit que deux normes N1 et N2 sont équivalentes sur un ev E s'il existe deux constantes C1,C2 > 0 telles que ∀x ∈ E, C1N1(x) ≤ N2(x) ≤ C2N1(x). Théor`eme 1 Soit E un espace vectoriel sur R ou C de dimension finie. Alors toutes les normes sur E sont équivalentes.
Définition : Soit une suite réelle; on dit que est une suite de Cauchy ou vérifie le critère de Cauchy si : quel que soit , il existe un entier tel que les inégalités p ≥ N et n ≥ N entraînent | u p − u n | < ϵ .
1. Propriété particulière d'un objet qui fait que celui-ci occupe une certaine étendue, un certain volume au sein d'une étendue, d'un volume nécessairement plus grands que lui et qui peuvent être mesurés. 2. Étendue, surface ou volume dont on a besoin autour de soi : Manquer d'espace dans une chambre trop petite.
Une base de l'espace est formée de trois vecteurs non coplanaires. Un repère de l'espace est constitué d'un point et d'une base de l'espace. La somme des vecteurs et est le vecteur dont les coordonnées sont la somme des coordonnées de et : . Soit k un réel quelconque.
Re: Q n'est pas (au blé) complet
Or, si Q était complet, toute suite de Cauchy à éléments rationnels (donc, en particulier, la suite (un) ) convergerait vers un rationnel. Ce n'est manifestement pas le cas : Q n'est donc pas complet.
Deux espaces vectoriels sont isomorphes lorsqu'on peut trouver une application linéaire et bijective (un isomorphisme) de l'un vers l'autre. On peut considérer que deux espaces isomorphes sont identiques du point de vue de la structure d'espace vectoriel.
Pour montrer qu'une application linéaire est continue, on cherche à majorer f(x)F en fonction de xE. = 1 et f(un) →∞. De plus, si E est de dimension finie, toute application linéaire E → F est continue (même si F est de dimension infinie !)
De plus, deux formes linéaires définissant le même hyperplan sont colinéaires. s'écrivent sous la forme AB − BA., avec A et B dans Mn(K). (x, y, z)|2x − 3y + z = 0} est un hyperplan vectoriel. {P|P(0) = 0} est un hyperplan vectoriel.
Propriétés des espaces vectoriels de dimension finie
Toute famille libre de E a au plus n vecteurs et toute famille génératrice en a au moins n. Pour qu'une famille d'exactement n vecteurs soit une base, il suffit qu'elle soit libre ou génératrice : elle est alors les deux.
Soit u, u ∈ Kerf et λ ∈ K. Par définition f(u) = 0 et f(u ) = 0, donc f(u + λu ) = f(u) + λf(u ) = 0, ce qui implique que u + λu ∈ Kerf. On en déduit que Kerf est un sous-espace vectoriel de E.
Un endomorphisme f de E est dit orthogonal si, et seulement si, il conserve le produit scalaire, c'est-`a-dire si, et seulement si ∀x,y ∈ E, (f (x)|f (y)) = (x |y).
Définition (Produit scalaire) On dit que l'application f : E × E → R est un produit scalaire si : (a) ∀(u, u , v, v ) ∈ E4, ∀(α, β) ∈ R2, f(αu + βu ,v) = αf(u, v) + βf(u ,v) : on dit que f est linéaire `a gauche. f(u, αv + βv ) = αf(u, v) + βf(u, v ) : on dit que f est linéaire `a droite.
La construction d'Euclide permet le développement des notions de mesure de longueur, d'aire, de volume, d'angle. Il existe de nombreuses aires de surfaces usuelles calculables par les techniques des Éléments. Une méthode, la méthode d'exhaustion qui préfigure l'intégration, permet d'aller plus loin.
Ainsi, des mathématiciens comme Frege, Russell ou Von Neuman ont construit l'ensemble des entiers naturels, et toute l'arithmétique qui leur est jointe, uniquement à partir de l'ensemble vide. Voici comment : 0 est identifié à l'ensemble vide. 1 est identifié à l'ensemble dont le seul élément est l'ensemble vide.
Une partie X de E est ouverte si et seulement si pour tout élément x de X, il existe un réel δ > 0 tel que B(x, δ) ⊂ X.
Un sous-ensemble de ℝ est dit 'ouvert', si chaque fois qu'il contient un point x il contient un intervalle ouvert non vide contenant x. Cette définition entraîne immédiatement les propriétés suivantes: ∅ et ℝ sont ouverts.