Selon la première, un ensemble E est dit dénombrable quand il existe une bijection entre l'ensemble N des entiers naturels et E (on dit qu'il est équipotent à l'ensemble N des entiers naturels). C'est la définition originale de Cantor.
Un ensemble est dit dénombrable si l’on peut dresser une liste de ses membres . Par liste, nous entendons que vous pouvez trouver un premier membre, un deuxième, et ainsi de suite, et éventuellement attribuer à chaque membre un entier qui lui est propre, peut-être pour toujours. Les nombres naturels sont eux-mêmes dénombrables : vous pouvez attribuer chaque entier à lui-même.
L'ensemble des entiers relatifs Z est dénombrable.
Comme R n'est pas dénombrable (théor`eme 1), il existe des nombres réels non algébriques, i.e. transcendants. Les exemples qui préc`edent donnent envie de poser des questions plus générales. Définition 15 Soient E et F deux ensembles. On dit que E et F sont équipotents s'il existe une bijection de E sur F.
Or, puisque l’ensemble des nombres rationnels n’est rien d’autre qu’un ensemble de tuples d’entiers. (tout nombre rationnel est de la forme m/n où m et n sont des nombres entiers). Ainsi , si l’ensemble des tuples d’entiers est dénombrable, l’ensemble des nombres rationnels l’est également .
Définissez g : N × N → Q+ par g(m, n) = m/n. Puisque tout nombre rationnel positif peut s’écrire comme un quotient d’entiers positifs, g est surjectif. Puisque N × N est dénombrable, il découle du théorème 5(b) ci-dessus que Q+ est dénombrable .
Q est un ensemble infini. Un ensemble infini est dénombrable s'il a une injection dans N. Ou dans n'importe quel ensemble dénombrable, tel que Z, dont vous savez déjà qu'il est dénombrable .
Pour démontrer que ℝ est non dénombrable, il suffit de démontrer la non-dénombrabilité du sous-ensemble [0, 1[ de ℝ, donc de construire, pour toute partie dénombrable D de [0, 1[, un élément de [0, 1[ n'appartenant pas à D. Soit donc une partie dénombrable de [0, 1[ énumérée à l'aide d'une suite r = (r1, r2, r3, … ).
Théorème 3.1 (Cantor, 1874) L'ensemble des nombres réels R n'est pas dénombrable. Preuve : Nous allons montrer que l'ensemble des réels dans l'intervalle (0,1) n'est pas dénombrable. D'après notre lemme ci-dessus, cela rendra les réels indénombrables, car s'ils étaient dénombrables, alors (0,1) serait également dénombrable .
On dit d'un ensemble qu'il est dénombrable s'il est en bijection avec une partie de N. En particulier, un ensemble fini est considéré comme dénombrable. Certains auteurs dé- finissent les ensembles dénombrables comme étant les ensemble en bijection avec N, auquel cas les ensembles finis ne sont pas dénombrables.
L'ensemble Z×ZZ × Z est dénombrable . Cela découle des deux premiers exemples. En effet, nous avons une bijection f:N→Z f : N → Z et une bijection g:N×N→N g : N × N → N .
Les ensembles N, Z, l'ensemble de tous les nombres naturels impairs et l'ensemble de tous les nombres naturels pairs sont des exemples d'ensembles dénombrables et dénombrables infinis.
Cardinalité. Définition : Un ensemble soit fini, soit de même cardinalité que l'ensemble des entiers positifs Z+ est appelé dénombrable. Un ensemble qui n'est pas dénombrable est appelé indénombrable .
Tous les ensembles finis sont dénombrables , mais tous les ensembles dénombrables ne sont pas finis. (Certains auteurs, cependant, utilisent « dénombrable » pour signifier « dénombrable infini », donc ne considèrent pas les ensembles finis comme dénombrables.) Le semi-réseau libre sur un ensemble fini est l'ensemble de ses sous-ensembles non vides, l'opération de jointure étant donné par une union définie.
Par exemple, l'ensemble des nombres réels dans l'intervalle [0,1] est indénombrable. Il existe un continuum de nombres dans cet intervalle, et c'est trop pour être mis en correspondance biunivoque avec les nombres naturels .
Exemples d'ensembles indénombrables : Nombres rationnels . Nombres irrationnels. Nombres réels.
ℝ est indénombrable
Preuve : en fait, nous montrerons que l'ensemble des nombres réels compris entre 0 et 1 est indénombrable ; puisqu'il s'agit d'un sous-ensemble de ℝ, l'indénombreabilité de ℝ suit immédiatement.
l'ensemble { 1 / n : n € N \ {0} } est borné. Il a 1 comme maximum (supremum) et 0 comme minimum. Cependant, comme l'infimum (point limite) n'appartient pas à l'ensemble, alors l'ensemble n'est pas fermé .
Un ouvert dans Rn est toute union de boules ouvertes, en particulier Rn lui-même .
Un nom dénombrable doit pouvoir être précédé de one, two, three ou a/an. À l'inverse, un nom indénombrable ne peut pas être précédé de one, two, three ou a/an. Néanmoins, certains noms peuvent changer de catégorie en fonction du contexte.
Un ensemble est dénombrable si ses éléments peuvent être mis en correspondance biunivoque avec l'ensemble des nombres naturels . En d’autres termes, on peut compter tous les éléments de l’ensemble de telle manière que, même si le comptage prend une éternité, vous parviendrez à n’importe quel élément particulier dans un laps de temps fini.
Un sous-ensemble d'un ensemble dénombrable est soit fini, soit dénombrable. Les unions finies et dénombrables d'ensembles dénombrables sont dénombrables . Les produits cartésiens finis d'ensembles dénombrables sont dénombrables.
Un ensemble est dit dénombrable s’il existe une correspondance bijective entre ses éléments et les nombres naturels. Par exemple, l’ensemble des nombres pairs est dénombrable. Nous pouvons lister tous les nombres pairs dans l’ordre suivant : 2, 4, 6, 8, 10, etc.
Soit A={f:{0,1}→N}. Chaque f∈A a deux valeurs ; c'est juste f(0) et f(1) et chacun d'eux est dans N. Par conséquent l'ensemble A a la même cardinalité que N×N, mais cela est dénombrable, puisque N est dénombrable.
Cependant, savoir compter les nombres ne signifie pas qu’il y en a un nombre fini. Avec un peu de patience (!), nous pouvons compter une quantité infinie de nombres. Par conséquent, les ensembles de nombres entiers et entiers sont dénombrables ; nous les appelons des ensembles dénombrables infinis.