Théorème – Définition : Tout nombre complexe non nul z s'écrit sous la forme suivante : z = r (cos (θ) + i sin (θ)) avec r = |z| et θ = arg (z) [2π] Cette forme est appelée forme trigonométrique du complexe z.
Pour mettre sous forme trigonométrique un complexe z=a+ib z = a + i b , on met en facteur le module √a2+b2 a 2 + b 2 , puis on cherche un angle θ tel que ⎧⎨⎩cosθ=a√a2+b2sinθ=b√a2+b2.
On appelle forme algébrique (ou cartésienne) d'un nombre complexe z = (x, y) l'expression z = x +jy. si x = 0, alors z = jy est un nombre imaginaire pur: z ∈I L'ensemble des nombres imaginaires purs se note I.
Soit z=a+bi z = a + b i un nombre complexe. Sa forme polaire est rcis(θ) , où r=|z|=√a2+b2 r = | z | = a 2 + b 2 et 0≤θ<2π 0 ≤ θ < 2 π .
Théorème – Définition : Tout nombre complexe non nul z s'écrit sous la forme suivante : z = r (cos (θ) + i sin (θ)) avec r = |z| et θ = arg (z) [2π] Cette forme est appelée forme trigonométrique du complexe z. Démonstration : On note M le point d'affixe z, r = OM et θ = ( u ; −−→ OM ) [2π].
Tout élément z de s'écrit de manière unique : z = a + ib (a et b réels), donc si z = a + ib et z' = a' + ib', z = z' ⇔ a = a' et b = b'. a + ib (a et b réels) s'appelle la forme algébrique du nombre complexe z. Le réel a s'appelle la partie réelle de z, notée Re(z).
Le module d'un nombre complexe z=a+ib est : ∣z∣=a2+b2 . Un argument d'un nombre complexe non nul z est une mesure en radian de l'angle orienté θ tel que cos(θ)=∣z∣Re(z) et sin(θ)=∣z∣Im(z).
La mobilisation et l'intégration des ressources pour résoudre une situation complexe doit faire l'objet d'un apprentissage spécifique, au même titre que celui des ressources ; enfin, il faut veiller à ce qu'elle ne soit pas plus difficile que les situations qui ont été abordées lors de l'apprentissage.
Une formule générale
Soit une fonction f affine et prenons 2 nombres différents x1 et x2. f étant affine, son expression algébrique est de la forme f(x) = ax+b d'après la définition des fonctions affines. donc h(−1) = 5 et h(2) = −1. On a donc a = −2 qui est bien la valeur que l'on avait obtenu graphiquement.
Les fonctions trigonométriques sont des fonctions périodiques. Une fonction f(x) est périodique s'il existe un nombre positif P (la période) tel que f(x±P)=f(x) f ( x ± P ) = f ( x ) pour toutes les valeurs de x dans le domaine de la fonction.
Forme exponentielle des nombres complexes
C'est pour cette raison que l'on introduit la notation suivante : eiθ=cosθ+isinθ. Il ne faut pas ici s'effrayer face à l'exponentielle : il ne s'agit que d'une notation. Historiquement, cette dernière égalité est en fait plutôt connue comme la formule d'Euler.
L'écriture x+iy x + i y , où x∈R et y∈R x ∈ R et y ∈ R , d'un nombre complexe z est appelée la forme algébrique du nombre complexe z .
1. a. Donnons les formes exponentielle et trigonométrique de 1 + i: • Le module de 1 + i est: 1 + i = 12 + 12 => 1 + i = 2.
cos (θ) = cos (φ) n'équi- vaut pas à θ ≡ φ[2π] mais à θ ≡ φ[2π] ou θ ≡ −φ[2π]. La deuxième possibilité se retrouve très simplement en observant un cercle trigo : 1. Pour le cos, on remarque que cos (α) et cos (−α) valent la même chose.
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Une situation complexe est une situation qui, pour être résolue, fait appel à plusieurs éléments (ressources) qui ont déjà été abordés par l'élève, mais de façon séparée, dans un autre ordre, dans un autre contexte. Une situation complexe n'est pas une simple application d'une notion, d'une règle, d'une formule.
Si z=a+ib avec a,b∈R, alors le module de z est le nombre réel positif |z|=√a2+b2.
Propriété : Argument du conjugué d'un nombre complexe
Pour tout nombre complexe non nul 𝑧 et son conjugué 𝑧 (également noté 𝑧 ∗ ), a r g a r g ( 𝑧 ) = − 𝑧 .
Tout nombre θ qui convient s'appelle un argument de z , noté arg(z) . Exemple : Déterminons un argument de 1+i : 1+i=√2(1√2+1√2i)=√2(cos(π4)+isin(π4)). 1 + i = 2 ( 1 2 + 1 2 i ) = 2 ( cos ( π 4 ) + i sin
Théorème - Définition : On peut toujours écrire un nombre complexe z sous la forme : z = |z|(cos(θ)+i sin(θ)), avec θ = arg(z). On appelle ceci la forme trigonométrique de z. cos(θ) = a |z| , sin(θ) = b |z| . Exemple : Calculer |z| et arg(z) pour z = 1+i.
Vocabulaire : - L'écriture a + ib d'un nombre complexe z est appelée la forme algébrique de z. - Le nombre a s'appelle la partie réelle et la nombre b s'appelle la partie imaginaire. On note Re(z) = a et Im(z) = b . Remarques : - Si b = 0 alors z est un nombre réel.