La base soixante a été bien utilisée par nos ancêtres et nous l'utilisons toujours pour compter les minutes et les secondes ou les angles en degrés. En base 60, chaque "chiffre" vaut une puissance de 60. En base 60, il y a 60 "chiffres": {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, …}.
Exemple : 5489 = 5×103 +4×102 +8×101 +9×100. Si l'écriture 5489 était l'écriture d'un entier en base seize, 5489 désignerait l'entier 5×163 +4×162 +8×161 +9×160. Pour distinguer 5489 base dix et 5489 base seize, on peut utiliser certaines conventions de notations.
Les Babyloniens ont compté en base 60 en utilisant une numération de position empruntée aux Sumériens. À noter que cette base a traversé les siècles puisqu'on la retrouve encore de nos jours dans la notation des angles en degré ou dans le découpage du temps en minutes et en secondes.
on utilise un nombre petit de symboles (les chiffres) dont la valeur dépend de la position. Chaque décalage vers la gauche du symbole le multiplie par une certaine quantité appelée la base. Par exemple, en écriture décimale 2345 signifie 5+4×10+3×100+2× 1000. C'est ce que l'on appelle la numération de position.
Le principe d'écriture d'un nombre écrit dans le système décimal en base b est le même : On obtient les restes successifs de la division euclidienne du nombre par b et on recopie les restes du dernier obtenu au premier.
Pour poser une addition en base 4, on utilise exactement les mêmes règles que d'habitude, il faudra juste faire très attention en additionnant et en ajoutant les retenues. Exemple : le nombre 14 s'écrit 32 en base 4, et le nombre 11 s'écrit 23 en base 4. restante : 1+3+2=12, j'inscrit mon résultat.
Base 5 : les chiffres sont 0,1, 2, 3 et 4. Le nombre 17 (en système décimal) s'écrit "32" en base 5, soit : 3x5+2.
La base 16 nécessite l'utilisation de 16 chiffres. On utilise alors les 10 chiffres usuels auxquels on rajoute les 6 premières lettres de l'alphabet. Les symboles utilisés sont donc 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Ainsi, la lettre A correspond au nombre 10, B au nombre 11, …
La méthode la plus simple pour convertir un nombre décimal en binaire est la méthode euclidienne. On divise le décimal par 2, on note le reste de la division 1 ou 0. On réapplique le même procédé avec le quotient précédent, et on met de nouveau le reste de côté. On réitère la division jusqu'à ce que le quotient soit 0.
Pour convertir un nombre décimal en hexadécimal, la méthode est similaire au binaire, sauf que cette fois on divise par 16. 11 = 16 x 0 + 11 (c'est à dire B) Attention, il faut bien lire de bas en haut ! 185 en base 10 vaut donc B9 en hexadécimal.
La base de 60 a été privilégiée pour morceler le temps, car elle est considérée comme pratique. En effet, il est plus aisé de réaliser des calculs avec ce système : 10 n'est divisible que par 2 et 5, quand 60 l'est par 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 et 30. Bien plus de nombres, donc.
Les astronomes babyloniens raffolaient donc de cette base de 60, pratique également pour faire des tiers et des quarts. C'est pour cela que ce nombre magique s'est imposé en toute simplicité dès l'Antiquité afin de définir le nombre de minutes par heure, et de secondes par minute.
Depuis l'Antiquité, les êtres humains ont fait preuve d'incroyables astuces pour pouvoir calculer. Ils ont utilisé des cailloux, des jetons, des boules et même leurs doigts avec lesquels ils pouvaient compter jusqu'à 9999!
En mathématiques, une base d'un espace vectoriel V est une famille de vecteurs de V linéairement indépendants et dont tout vecteur de V est combinaison linéaire. En d'autres termes, une base de V est une famille libre de vecteurs de V qui engendre V.
Elle correspond au montant global des rémunérations, c'est-à-dire non seulement les rémunérations en espèces (indemnités, primes, gratifications…) mais également les avantages en nature, tels que les repas fournis, le logement, le véhicule de « fonction »…
Il existe quatre opérations de base en mathématiques : l'addition, la soustraction, la multiplication et la division.
Et cette écriture en base 2 n'utilise cette fois que des chiffres pris dans l'ensemble {0,1}. Par exemple, le nombre 27 se décompose en base 2 sous la forme 27=16+8+2+1=1×16+1×8+0×4+1×2+1×1, et son écriture en base 2 est donc 11011.
Il suffit de convertir la valeur de chacun des chiffres sous leur forme binaire en utilisant un nombre de chiffres correspondant à la puissance de la base : 16 = 24, 8 = 23, donc 4 chiffres pour l'hexadécimal et 3 pour l'octal : 1A2F16 va s'écrire 1 ⇒ 0001, A ⇒ 1010, 2 ⇒ 0010, F ⇒ 1111, soit 0001 1010 0010 11112.
Une autre façon d'écrire un nombre octal est d'ajouter à sa droite la lettre O en majuscule. Par exemple, les notations (126)8 ou 126 O sont équivalentes et signifient toutes les deux le nombre octal "un, deux, six".
Le premier rang (en partant de la droite) est le rang 0, le second est le 1, etc. Pour convertir le tout en décimale, on procède de la manière suivante : on multiplie par 20 la valeur du rang 0, par 21 la valeur du rang 1, par 22 la valeur du rang 2, [...], par 210 la valeur du rang 10, etc.
La base de 10, aussi appelée système décimal, est un principe de numération mathématique qui consiste à organiser une collection d'objets à dénombrer, en les regroupant par paquets de dix; par paquets de dix dizaine (=centaines), etc.
Pour passer du binaire en octal : on parcourt le nombre binaire de la droite vers la gauche en regroupant les chiffres binaires par paquets de 3 (en complétant éventuellement par des zéros). Il suffit ensuite de remplacer chaque paquet de 3 par le chiffre octal.
Pour l'hexadécimal, un procédé analogue existe, mais l'écriture des chiffres en base seize oblige à ajouter six symboles à nos dix chiffres arabes usuels. Les symboles ajoutés sont le plus souvent A, B, C, D, E et F, correspondant aux « chiffres hexadécimaux » 10, 11, 12, 13, 14 et 15.