Exemples de contre-exemples Trouvons un contre-exemple à l'affirmation suivante : ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 pour tous nombres réels et . Il faut déterminer deux nombres pour que l'égalité ne soit pas vraie. Comme cette égalité contient des carrés, il faut considérer les propriétés des puissances et racines.
Pour rejeter une affirmation, il suffit parfois de trouver un cas particulier qui vient la contredire. Ce cas particulier est appelé contre‑exemple. Logique Un exemple ne suffit pas à prouver qu'une affirmation est vraie mais un contre‑exemple suffit à prouver qu'une affirmation est fausse.
« Si A est vraie, alors B est vraie. » Cette proposition peut également s'énoncer, de manière équivalente, comme suit : « Si B est fausse, alors A est fausse. » Ou encore : « Si non(B) est vraie, alors non(A) est vraie. »
Le raisonnement mathématique fait appel à des règles d'inférence et de déduction faisant intervenir des définitions, des énoncés admis comme prémisses, des lois ou propriétés, des résultats préalablement obtenus également par raisonnement, dans le but de démontrer des hypothèses ou des conjectures.
Elle consiste à commencer par des faits ou des théorèmes connus, puis à suivre une séquence logique d'étapes montrant le raisonnement qui permet d'atteindre une conclusion qui démontre la conjecture initiale. Cela va impliquer l'utilisation du discriminant.
Il y plusieurs types de démonstrations : par l'absurde, par le contre-exemple ou par probabilité Chacune de ces démonstrations obéit à des normes particulières.
Deux grandes méthodes. Pour apprendre les mathématiques, deux grandes méthodes traditionnelles sont généralement suggérées : la méthode Assimil et la méthode Berlitz. Même en vacances, on peut faire des maths : dessinez la montagne sous forme d'un graphique et étudiez son sens de variation !
Quand un énoncé commence par « Pour tout… », il suffit, pour prouver qu'il est faux, de trouver un élément (« il existe… ») qui réalise les conditions imposées dans l'hypothèse sans que soit vérifiée la conclusion. C'est la donnée du contre-exemple.
Il s'agit donc de relever, pour chaque document : – l'idée principale ; – le lien que l'on peut établir avec le sujet ; – les données utiles pour illustrer les arguments (données chiffrées, citations, etc.). L'analyse et l'exploitation des documents peut se faire à l'aide d'un tableau.
Il est recommandé de commencer le raisonnement par une courte introduction qui doit comprendre dans l'ordre : une accroche ; le rappel du sujet ; la définition et la discussion des termes du sujet ; l'annonce du plan. Cherchez à présenter tout cela de façon logique et fluide.
Nom commun. (Logique) Raisonnement logique consistant à affirmer une implication (« si A alors B ») et à poser ensuite la négation du conséquent (« or, non B ») pour en déduire la négation de l'antécédent (« donc non A »).
En mathématiques et en logique, la contraposition transforme une implication « si A alors B » en une implication équivalente « si non B alors non A ».
La contraposée de la proposition P⟹Q P ⟹ Q est la proposition (non Q)⟹(non P) ( non Q ) ⟹ ( non P ) . Ces deux propositions, P⟹Q P ⟹ Q et (non Q)⟹(non P) ( non Q ) ⟹ ( non P ) , sont équivalentes.
La connaissance des quatre principes fondamentaux que sont : le principe d'identité, de non-contradiction, du tiers exclu et de la raison suffisante, issus de la logique formelle d'Aristote, est la condition nécessaire à l'exercice et la structuration de la pensée scientifique (Malanda Dem, 1977; Sagaut, 2008–2009).
On appelle donc modes de raisonnement les différents moyens ou les différentes manières de conduire sa pensée. Nous en distinguons plusieurs. Il part d'une hypothèse, d'une loi, d'un principe, d'une idée générale pour en déduire une proposition particulière.
Contrairement au raisonnement arithmétique, qui part du connu pour calculer les inconnues en lien avec le contexte, le raisonnement algébrique consiste à représenter les relations entre les données et les nombres non connus du problème et à utiliser un traitement formel pour le résoudre.
Demandez à votre tout-petit son avis sur de petites choses et posez-lui des questions qui commencent par « pourquoi » ou « comment ». Faites-le réfléchir à voix haute. Évitez de toujours donner une réponse immédiate aux questions de votre enfant ou la solution pour résoudre son problème.
Un raisonnement est constitué d'idées générales – les arguments – qui véhiculent la thèse de l'auteur. Chaque argument introduit un nouvel élément. Les arguments sont reliés entre eux par des connecteurs logiques. Les arguments peuvent être illustrés par des mises en application concrètes : les exemples.
Les plus courants sont l'argument logique, l'argument d'expérience, l'argument de valeur, l'argument d'autorité et l'argument ad hominem.
Pour un raisonnement par l'absurde, nous devons d'abord supposer la réciproque de ce que nous souhaitons démontrer. Ainsi, nous ferons l'hypothèse qu'il y a un plus grand nombre pair . Il faut maintenant utiliser cette hypothèse pour aboutir à une contradiction. Si est pair, alors m = n + 2 est aussi un nombre pair.
On s'intéresse à deux propositions A et B et on veut démontrer que A implique B (autrement dit, si A est vraie, alors B l'est aussi). Le raisonnement par l'absurde consiste à supposer que A est vraie et que B est fausse. On aboutit alors à une contradiction, ce qui entraîne que B doit être nécessairement vraie.
Les deux graphies, math et maths, sont admises : un prof de math, un cours de maths. Courant à l'oral. Dans l'expression écrite soignée, on emploie plutôt mathématiques.