Parfois, la fonction est définie par prolongement par continuité en ce point. Pour justifier de la dérivabilité en ce point, on revient alors à la définition, en calculant le taux d'accroissement et en vérifiant s'il admet une limite, ou alors, si on connait, on applique le théorème de prolongement d'une dérivée.
On dit que f est dérivable en x0 x0 x0 si l'application τx0 admet une limite finie en x0. f (x0 + h) − f (x0) h . Si x0 est une borne de l'intervalle I, la limite de τx0 en x0 est supposée être une limite à gauche ou une limite à droite selon le cas de figure.
Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. Si f est dérivable en a Alors f est continue en a. f(x) = f(a), et donc que f est donc continue en a.
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h).
Lorsqu'une fonction n'est pas définie pour une valeur, le nombre dérivé n'existe pas et l'affaire est pliée : il est évident que la fonction inverse n'est pas dérivable en 0 puisqu'elle n'y est pas définie. Là où ça se complique, c'est lorsque la fonction est définie en un point mais qu'elle n'y est pas dérivable.
Définition. Si le quotient T a ( h ) = f ( a + h ) − f ( a ) h tend vers un nombre réel lorsque h tend vers 0, alors on dit que f est dérivable en a.
Une fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point a quand elle admet une dérivée finie en a, c'est-à-dire, intuitivement, quand elle peut être approchée de manière assez fine par une fonction affine au voisinage de a.
Les fonctions discontinues sont non dérivables en tout point où elles sont discontinues.
En mathématiques, une fonction continue nulle part dérivable est une fonction numérique qui est régulière du point de vue topologique (c'est-à-dire continue) mais ne l'est pas du tout du point de vue du calcul différentiel (c'est-à-dire qu'elle n'est dérivable en aucun point).
Pour une fonction dérivable f d'une variable, on se rappelle que l'équation de la tangente au graphe au point (a,f (a)) est y = f (a)+(x − a)f (a). Si f est `a deux variables, c'est presque pareil, l'équation du plan tangent au point (a,b,f (a,b)) est z = f (a,b)+(x − a)fx (a,b)+(y − b)fy (a,b).
Théorème (théorème fondamental du calcul intégral) : Si f est une fonction continue et positive sur [a,b] , alors la fonction F définie sur [a,b] par F(x)=∫xaf(t)dt F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t est dérivable sur [a,b] , et a pour dérivée f .
Comment : Vérifier si une fonction est continue en un point
(Ceci veut dire en d'autres termes que les limites à gauche et à droite de 𝑓 ( 𝑥 ) en 𝑥 = 𝑎 existent et sont égales) ; l i m → 𝑓 ( 𝑥 ) et 𝑓 ( 𝑎 ) doivent avoir la même valeur.
Soit f une fonction définie sur un ouvert U de Rn , à valeurs dans Rp et soit a un point de U . On dit que f est différentiable en a s'il existe une application linéaire L de Rn dans Rp telle que f(a+h)=0f(a)+L(h)+o(∥h∥). f ( a + h ) = 0 f ( a ) + L ( h ) + o ( ‖ h ‖ ) .
Pour étudier l'existence d'une dérivée partielle par rapport à la première variable en (0,0) ( 0 , 0 ) , on étudie le taux d'accroissement f(t,0)−f(0,0)t=0→0. f ( t , 0 ) − f ( 0 , 0 ) t = 0 → 0. Donc ∂f∂x(0,0) ∂ f ∂ x ( 0 , 0 ) existe et vaut 0.
Comme pour une fonction d'une variable réelle, cette propriété sert souvent à montrer qu'une fonction n'est pas continue. alors un tend vers (0, 0) mais f(un) ne tend pas vers f(0, 0) quand n tend vers +∞. pour tout t = 0, ce qui donne une contradiction et prouve par l'absurde que f n'est pas continue en (0,0).
Ainsi une fonction peut être continue en un point sans être dérivable en ce point. Du coup, si tu as déjà montré ou si tu sais qu'une fonction est dérivable sur un certain intervalle, tu peux dire « elle est dérivable sur cet intervalle donc elle est continue sur cet intervalle » (et pas l'inverse^^).
Traditionnellement, 8 grandes fonctions sont recensées dont les plus vitales sont : les fonctions Achats, Production, Marketing et Vente, Comptabilité et Finance, entre autres.