Comment justifier l'existence d'une intégrale ? L'existence d'une intégrale peut être justifiée à l'aide de plusieurs théorèmes mathématiques tels que le théorème de convergence monotone et le théorème de convergence dominée. Ces théorèmes garantissent l'existence de l'intégrale sous certaines conditions.
Condition suffisante d'existence d'une primitive
Si f est une fonction continue sur l'intervalle [a,b], alors f admet une primitive F définie pour tout x ∈ [ a , b ] x \in \left[a,b\right] x∈[a,b] par F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t F(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt F(x)=∫axf(t)dt.
Si la courbe passe au-dessus et en-dessous de l'axe des 𝑥 dans l'intervalle [ 𝑎 ; 𝑏 ] , alors son intégrale définie est la différence entre l'aire au-dessus de l'axe des 𝑥 et l'aire sous l'axe des 𝑥 , dans l'intervalle [ 𝑎 ; 𝑏 ] .
Si I est un intervalle borné, toute fonction continue par morceaux et bornée sur I est intégrable sur I. En particulier, si f admet une limite finie aux bornes de I, alors f est intégrable sur I. g(t). Alors f est intégrable au voisinage de t0 si, et seulement si, g est inté- grable au voisinage de t0.
Autrement dit, si une fonction est intégrable sur I=]a,b[ I = ] a , b [ , alors son intégrale sur I est convergente.
Une intégrale impropre est convergente si sa valeur est finie, dans le cas contraire elle est divergente.
Théorème (théorème fondamental du calcul intégral) : Si f est une fonction continue et positive sur [a,b] , alors la fonction F définie sur [a,b] par F(x)=∫xaf(t)dt F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t est dérivable sur [a,b] , et a pour dérivée f .
Si la fonction f est impaire, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine. L'intégrale entre a et -a est nulle car l'aire comprise entre -a et 0 aura un signe moins alors que celle entre 0 et a aura la même valeur mais avec un signe +.
On parlera d'intégrale généralisée ou bien d'intégrale impropre. f(x)dx . Si l'intégrale n'est pas convergente, on dira qu'elle est divergente. Ce statut est appelé nature de l'intégrale.
points que σ). Évidemment, I[a,b](f) ⩽ I[a,b](f). f est dite intégrable sur [a, b] si et seulement si I[a,b](f) = I[a,b](f) (pincement).
Grossièrement, l'intégrale de f représente l'aire entre la courbe de f et l'axe des abscisses en comptant positivement ce qui est au-dessus et négativement ce qui en-dessous de cet axe. Si ton intégrale a l'air négative c'est que l'aire en-dessous de l'axe des abscisses est plus importante que celle qui est au-dessus.
En terme de différentielle, on a la caractérisation suivante : Proposition : Soit f une fonction définie sur un ouvert U de Rn. R n . f est de classe C1 sur U si et seulement si f est différentiable sur U et si l'application x↦dfx x ↦ d f x est continue.
La différence entre primitive et intégrale est qu'une primitive est une fonction tandis qu'une intégrale est un réel exprimé comme une aire algébrique (pouvant être négatif).
soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si on définit maintenant la fonction G sur R par : G(x)=4x+3 alors G est dérivable sur R et pour tout réel : G'(x)=f(x), donc G est aussi une primitive de f sur R .
Pour cela soit k un réel compris entre f(a) et f(b). On se place dans le cas où f(a) < f(b) (la démonstration est similaire dans l'autre cas : remplacer le mot minimum par le mot maximum) Posons g(x) = F(x) - kx ; g est dérivable donc continue sur [a,b], elle y admet donc un minimum, en un réel c de [a,b].
Toutes les fonctions n'ont pas de primitive. Et une primitive, si elle existe, n'est jamais unique : elle n'est définie qu'à une constante près. Le théorème suivant garantit l'existence d'une primitive lorsque la fonction est continue.
Définition : Quand une intégrale ne converge pas, on dit qu'elle diverge. La nature d'une intégrale généralisée est le fait qu'elle converge ou qu'elle diverge.
Si la fonction est positive sur l'intervalle d'intégration, l'intégrale est positive et donc I_{n+1}-I_{n} est positif. Si la fonction est négative sur l'intervalle d'intégration, l'intégrale est négative et donc I_{n+1}-I_{n} est négatif.
Le concept d'intégrale a été raffiné depuis son introduction au XVII e siècle par Leibniz et Newton, permettant ainsi de les calculer pour des fonctions de moins en moins régulières. On rencontre ainsi aujourd'hui les intégrales dites de Riemann, de Lebesgue ou de Kurzweil-Henstock.
Intégrale et primitives
L'intégrale de la fonction nulle est nulle sur tout intervalle inclus dans l'ensemble des réels ; les primitives de la fonction nulle (sur ℝ) sont donc les fonctions constantes.
Conseil On peut s'aider de la courbe de f pour conjecturer si elle paire, impaire ou ni l'un ni l'autre. Si f(−x)=f(x) alors f est paire. Si f(−x)=−f(x) alors f est impaire.
On retiendra qu'une intégrale peut être positive ou négative mais qu'une aire, elle, est toujours positive.
Propriété de positivité
En d'autre termes, l'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle est positive, ce qui est logique dans la mesure où elle s'interprète comme une aire (voir le début du cours).
Méthode : Toutes les primitives de f sont de la forme G ( x ) = F ( x ) + k où k est une constante réelle. Il faut donc calculer k de manière à avoir G ( 0 ) = 0 . On veut que G ( 0 ) = 0 donc k − 1 = 0 donc k = 1 .
Pour l'intervalle fermé moins 𝑎, 𝑎, si la fonction est impaire, l'intégrale définie de moins 𝑎 à 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à zéro. Et si elle est paire, on trouve qu'elle est égale à deux fois l'intégrale définie de zéro à 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥.