Un nombre entier naturel (supérieur ou égal à 2) est un nombre premier s'il admet exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même.
Nombre premier : définition
Rappelons qu'un nombre admet un nombre entier comme diviseur s'il existe un autre nombre entier tel que n = m k . Autrement dit, un diviseur de est un nombre entier par lequel nous pouvons diviser sans avoir de reste. est un nombre premier, comme ses seuls diviseurs sont et .
Selon cette définition, les nombres 0 et 1 ne sont donc ni premiers ni composés : 1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur entier positif et 0 non plus car il est divisible par tous les entiers positifs.
Deux nombres entiers sont dits premiers entre eux lorsqu'il n'admette aucun diviseur commun, sinon l'unité. Par exemple 5 et 12 sont premiers entre eux, mais pas 12 et 15 qui admettent 3 comme diviseur commun.
Un nombre premier est donc un nombre dont ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même. Citons quelques nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … et quelques plus grands : 22 091, 9 576 890 767 ou encore ce géant : 95 647 806 479 275 528 135 733 781 266 203 904 794 419 563 064 407.
Le nombre 11 est premier. En revanche, le nombre 111 ne l'est pas, car 111 = 3 × 37. De même, quatre "1" consécutifs ou cinq "1" ne constituent pas des nombres premiers : 1111 = 11 × 101 et 11111 = 41 × 271.
21 admet quatre diviseurs positifs (1, 3, 7 et 21) donc ce n'est pas un nombre premier. La liste des nombres premiers débute par : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31… Un test qui détermine si un nombre entier est premier est appelé « test de primalité ».
135 et 120 ne sont pas premiers entre eux car ils ont en plus comme diviseur commun que le 1 au moins le 5. Ils ne sont pas premiers entre eux car tous les deux sont pairs, c'est-à-dire divisible par 2. Ils ne sont pas premiers entre eux car tous les deux sont divisibles par 3.
3) Aucun nombre pair n'est premier. 4) Tous les nombres impairs sont des nombres premiers. 5) La différence entre deux nombres premiers consécutifs (qui se suivent) est toujours 2 6) Aucun multiple de 5 n'est premier.
1. Les nombres 756 et 441 sont-il premiers entre eux ? Justifier. La somme des chiffres de 756 est 15 ; la somme des chiffres de 441 est 9 756 et 441 ne sont pas premiers entre eux car ils sont tous les deux divisibles par 3.
A) Multiples et diviseurs d'un nombre
Exemple : 56 = 7 x 8. 7 et 8 sont des diviseurs de 56. 56 est un multiple de 7 et un multiple de 8.
Un nombre premier, c'est un nombre qu'on ne peut pas obtenir en multipliant deux autres nombres. Vous pouvez essayer de multiplier tous les nombres que vous voulez, vous n'obtiendrez jamais 23. Ce n'est pas vrai pour 24 : par exemple, 2 fois 12 égale 24. Donc 23 est un nombre premier, mais pas 24.
Nombres premiers, nombres parfaits
Tous les nombres premiers sont impairs, avec une exception : le nombre premier 2. Aucun nombre pair n'est premier, avec une exception : le nombre premier 2.
4 n'est pas un nombre premier car il admet 3 diviseurs : 1, 2 et 4 ; 123 n'est pas un nombre premier, car il est divisible par 3. La division de 123 par 3 donne un quotient de 41, sans reste. En revanche, le nombre 41 est premier.
Grâce au crible ou tout autre moyen, listons les nombres premiers plus petits que 200 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 et 199.
Cette fonction nous donne bien quelques nombres premiers (16 nombres premiers) mais pas 17 car 289 n'est pas premier. 289 = 172.
Définition : Un nombre entier positif est premier s'il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Exemples et contre-exemple : • Voici la liste des 25 premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97…
Plus formellement, un nombre parfait n est un entier tel que σ(n) = 2n où σ(n) est la somme des diviseurs positifs de n. Ainsi 6 est un nombre parfait car ses diviseurs entiers sont 1, 2, 3 et 6, et il vérifie bien 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6, ou encore 6 = 1 + 2 + 3.
11 est premier, 119=7×17 n'est pas premier. 13 est premier, 913=11×83 n'est pas premier. … 31 est premier, 931=7²×19 n'est pas premier et 319=11×29 n'est pas premier.
288 et 224 sont tous les deux pairs, donc 2 est un diviseur commun à 288 et 224 ; ils ne sont pas premiers entre eux.
Voici tout la liste des nombres premiers jusqu'à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Les facteurs premiers apparaissant dans les deux décompositions sont 3 ; 5 et 7 donc PPCM(135 ; 63) = 33 x 5 x 7 = 945.
Introduction. Dans ce TP, on s'intéresse aux nombres premiers, à leur identification et leur recherche. On rappelle la définition d'un nombre premier : il s'agit d'un entier naturel qui possède deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. En conséquence le nombre 1 n'est pas premier car il ne possède qu'un seul diviseur.
Mais 2 est bel et bien premier. Il répond à la définition : un nombre entier est premier quand il a exactement deux diviseurs entiers positifs (donc distincts) : 1 et lui-même. Parmi les nombres premiers ses particularités sont : il est le… premier et il est le seul à être pair.
23 est un nombre premier • 25 n'est pas un nombre premier car il a trois diviseurs : 1 ; 5 et 25.