Pour montrer qu'une application linéaire f∈ℒ(E,E′) est continue, il suffit de déterminer k∈ℝ vérifiant ∥f(x)∥≤k∥x∥ pour tout x∈E.
Pour montrer qu'une application linéaire est continue, on cherche à majorer f(x)F en fonction de xE. = 1 et f(un) →∞.
Pour démontrer qu'une application linéaire u:E→F u : E → F n'est pas continue, on peut chercher une suite (xn) de E avec ∥xn∥=1 ‖ x n ‖ = 1 et ∥u(xn)∥→+∞ ‖ u ( x n ) ‖ → + ∞ (voir cet exercice).
On peut aussi observer que M↦rg(M) prend ses valeurs dans ℕ sur le connexe par arcs ℳn(𝕂): si cette application était continue, elle devrait être constante. Montrer la continuité de l'application qui à une matrice M de GLn(𝕂) associe son inverse. d(x,A)=inf{∥x-a∥|a∈A}.
Pour montrer qu'une application est ouverte, il suffit de le vérifier sur une base de l'espace de départ X. Autrement dit, f : X → Y est ouverte si et seulement si l'image par f de chaque ouvert d'une base de X est ouverte.
Un ensemble F est fermé si et seulement si toute limite (dans E) d'une suite généralisée à valeurs dans F appartient à F. L'espace E est dit séquentiel si cette caractérisation de ses fermés reste vraie en remplaçant « suite généralisée » par « suite ». Tout espace métrique est séquentiel.
Une partie F est fermée si et seulement si toute suite convergente dans E et à valeurs dans F est convergente dans F . l'élément x qui n'est pas dans F . F = f −1 ([0 ;+∞[)= {x∈E,f (x)⩾ 0 } est un fermé et il en est de même de Z = f −1({0 })= {x∈E,f (x)= 0} .
Donc, pour tout élément x de G, fx est une permutation de G. Soit alors ϕ : (G,×) → (SG,◦) x ↦→ fx . D'après ce qui précède, ϕ est une application. De plus, ϕ est de plus un morphisme de groupes.
Si F = E, f est appelée un endomorphisme. Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K. Propriétés. Si f:E → F est une application linéaire alors • f(0) = 0, • f(λ1u1 + ··· + λnun) = λ1f(u1) + ··· + λnf(un).
En mathématiques, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle, une norme d'opérateur ou norme subordonnée est une norme définie sur l'espace des opérateurs bornés entre deux espaces vectoriels normés. Entre deux tels espaces, les opérateurs bornés ne sont autres que les applications linéaires continues.
Applications linéaires sur un espace de dimension finie
Si E est de dimension finie alors (quel que soit le choix de la norme sur E, puisque toutes sont équivalentes), toute application linéaire sur E est continue.
La fonction f est dite continue au point a si f(a) est une limite de f en ce point. Si F est séparé (ou même seulement T1) comme tout espace métrisable, il suffit pour cela qu'il existe une limite de f en ce point.
Nous savons qu'une fonction est continue sur un intervalle si la courbe représentative de la fonction n'a ni trou ni saut sur l'intervalle. En d'autres termes, cela signifie que nous pouvons tracer la courbe représentative d'une fonction continue sans lever le crayon du papier.
L'intérieur d'un ensemble est la réunion de tous les ouverts inclus dans cet ensemble. L'intérieur de A sera noté oA. Tout point de oA sera dit intérieur à A. l'extérieur de A est par définition l'intérieur de E-A.
En mathématiques et plus particulièrement en topologie générale, un ensemble ouvert, aussi appelé une partie ouverte ou, plus fréquemment, un ouvert, est un sous-ensemble d'un espace topologique qui ne contient aucun point de sa frontière. L'ouvert est l'élément de base d'un espace topologique.
Montrer que l'endomorphisme u est continu si, et seulement si, l'ensemble {x∈E|∥u(x)∥=1} est une partie fermée de E. est l'image réciproque du fermé {1} par l'application continue f=∥⋅∥∘u. La partie A est donc un fermé relatif à E, c'est donc une partie fermée de E.
En mathématiques, un endomorphisme linéaire ou endomorphisme d'espace vectoriel est une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui-même. L'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel E est habituellement noté End(E) ou L(E).
Pour démontrer que φ n'est pas linéaire, il suffit de démontrer l'une des propriétés suivantes (elles ne sont pas nécessairement toutes satisfaites simultanément) : φ (0) ≠ 0 ; il existe ( u , v ) ∈ E 2 tel que φ ( u + v ) ≠ φ ( u ) + φ ( v ) ; il existe ( λ , u ) ∈ K × E tel que φ ( λ u ) ≠ λ φ ( u ).
Autrement dit, une permutation est un arrangement avec k=n. Une permutation correspond à un tirage successif de n boules (c'est à dire l'une après l'autre donc l'ordre compte) et sans remise (on ne remet pas la boule après le tirage) des n boules de l'urne, c'est à dire de toutes les boules de l'urne.
Les arrangements d'un ensemble se distinguent par l'ordre des éléments qui les composent. Par exemple, (A,C) et (C,A) sont 2 arrangements différents de l'ensemble {A,B,C}. { A , B , C } .
Le nombre de combinaisons de p objet parmi n avec remise est : Cpn+p−1=(n+p−1)! p!
Pour montrer qu'une application linéaire f∈ℒ(E,E′) est continue, il suffit de déterminer k∈ℝ vérifiant ∥f(x)∥≤k∥x∥ pour tout x∈E.
(1) Si O est une topologie sur X, et si x ∈ X, tout ouvert contenant x est un voisinage de x. (2) Si O est une topologie sur X, alors la famille VO = (VO(x))x∈X définie dans le lemme 2.1 est une topologie de voisinages de X, par définition même (on a tout fait pour !)
— Un ensemble O est ouvert de (X, d) si et seulement si pour toute suite (xn)n≥1 ⊂ X telle que xn −→ x ∈ O, il existe n0 tel que xn ∈ O pour tout n ≥ n0. — Un ensemble F est fermé de (X, d) si et seulement si pour toute suite conver- gente (xn)n≥1 ⊂ F on a limn→∞ xn ∈ F.