Si la fonction f ( x , y ) admet des dérivées partielles (par rapport à et ) qui sont continues, et si l'on se fixe des réels et , il existe une solution et une seule de l'équation y ′ = f ( x , y ) , définie sur un intervalle contenant , qui vérifie u ( x 0 ) = y 0 .
Unicité : On suppose qu'il existe une solution f. On montre que forcément f = bidule. Donc il y a une seule possibilité. Existence : On montre que, réciproquement, la formule bidule est solution.
Si ƒ est continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], alors pour tout nombre k compris entre ƒ(a) et ƒ(b), alors l'équation ƒ(x) = k admet une unique solution dans [a ; b].
Étudier le signe du discriminant Δ.
Si Δ < 0, alors cette équation n'admet pas de solutions réelles. Si Δ = 0, alors cette équation admet une solution unique .
Remplace dans chaque membre de l'équation l'inconnue par le nombre proposé. Si les deux membres prennent la même valeur, alors le nombre est solution de l'équation.
Exemple : 3 est-il une solution de l'équation 2x2 – 5 = x + 10 ? On constate que, pour x = 3, 2x2 – 5 = x + 10. Il y a égalité entre les deux membres donc 3 est une solution de l'équation 2x2 – 5 = x + 10. Une égalité reste vraie en ajoutant ou en soustrayant un même nombre à ses deux membres.
RESOUDRE UNE EQUATION : c'est chercher et trouver le nombre caché sous l'inconnue. Vérification : 10 x 0,625 - 2 = 2 x 0,625 + 3, donc 0,625 est solution. += − x x donc 14 est solution !
Un système d'équation se traduit par le produit matriciel AX = B. Ce système admet une unique solution si A est inversible : X = A-1B.
Si tous les coefficients aij sont nuls, et si l'un au moins des bi est non nul, alors le système n'admet pas de solution : S = ∅. Si l'un des coefficients aij est non nul, on peut le choisir comme pivot.
On peut dire que c'est une équation impossible. L'équation 1x=0 [inconnue x, ensemble de tous les nombres, sauf zéro.] Cette équation n'a pas de solution.
Une fonction admet une réciproque si et seulement si sa courbe représentative a un seul point d'intersection avec une parallèle à l'axe des abscisses.
S'il existe une ligne du type 0=b′i 0 = b i ′ avec b′i non nul, alors le système n'admet pas de solutions. Si au contraire il n'y a pas de ligne 0=b′i 0 = b i ′ , alors le système admet toujours une ou une infinité de solutions.
Preuve d'existence.
Pour prouver ∃xP(x) suffit d'exiber une valeur de x qui satisfait P(x). Pour prover que ∀xP(x) il faut prouver qu'il n'existe pas de x pour lequel P soit faux i.e. ¬∃x¬P(x).
Quel est l'autre moyen le plus simple de se prouver sa propre existence ? Se prendre pour objet à travers la conscience que l'on a de soi-même. Il n'y a pas d'autre moyen de prouver sa propre existence. Voir qu'autrui reconnaît notre existence comme étant vraie.
Il existe une unique application u:N⟶f(N) telle que : u(0)=a et ∀n∈N, u(n+1)=f(u(n)). On note alors (un)n∈N cette application (qui est une suite) et on l'appelle "suite récurrente (réelle) définie par u0=a et ∀n∈N, un+1=f(un)".} J'ai beau essayer de montrer par récurrence ce résultats, je n'y arrive pas !
1.1.
Cette équation s'appelle équation linéaire dans les variables (ou inconnues) x et y. Par exemple, 2x + 3y = 6 est une équation linéaire, alors que les équations suivantes ne sont pas des équations linéaires : 2x + y2 = 1 ou y = sin(x) ou x = y.
La méthode du pivot consiste d'abord à amener le système à un système triangulaire, ceci uniquement par opérations élémentaires sur les lignes. On suppose que la première colonne n'est pas identiquement nulle (sinon l'inconnue x1 n'apparait pas!), ainsi quitte à permuter les lignes, on suppose que a11 = 0.
Les équations linéaires homogènes sont celles dont le coefficient constant est nul. Propriété : si (x, y, z, …) et (x', y', z', …) sont deux solutions d'une équation linéaire homogène alors il en est de même de (kx, ky, kz, …) et (x + x', y + y', z + z', …).
La méthode consiste à rendre ce système triangulaire en effectuant des combinaisons linéaires : . On conserve la ligne 1 puis on élimine x dans les deux autres équations en effectuant une combinaison linéaire entre la ligne 1 et la ligne 2, puis la ligne 1 et la ligne 3.
Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de x qui vérifient cette inégalité. Il s'agit d'un ensemble de valeurs. Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à . L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc l'intervalle : −∞ ; .
Écrire l'équation de dissolution
On écrit l'équation de dissolution en dessinant une flèche orientée vers la droite et en indiquant la formule du solide ionique à sa gauche et les formules des ions, précédées de leurs coefficients stœchiométriques (égaux à leurs indices dans la formule du solide), à droite.
Si les droites sont parallèles entre elles, on aura plutôt une infinité de solution si elles sont confondues, ou l'absence de solution si elles sont disjointes. On peut résoudre un système d'équations linéaires de plusieurs façons.
Vocabulaire : - L'écriture a + ib d'un nombre complexe z est appelée la forme algébrique de z. - Le nombre a s'appelle la partie réelle et la nombre b s'appelle la partie imaginaire. On note Re(z) = a et Im(z) = b . Remarques : - Si b = 0 alors z est un nombre réel.
Résoudre graphiquement une inéquation du type f(x) < k, revient à déterminer les abscisses des points de la courbe situés au dessous de la droite horizontale d'équation y = k. f(x) > k déterminer les abscisses des points de Cf situés au dessus de la droite horizontale y = k.