Quatre points, tous dans un plan différent, O, I, J, K définissent un repère de l'espace. Si les droites (OI), (OJ) et (OK) sont perpendiculaires deux à deux et si OI = OJ = OK = 1 unité, le repère (O, I, J, K) est orthonormal. Remarque : Un « coin » de cube donne une bonne image de ce repère.
Un repère de l'espace est constitué d'un point de l'espace et d'une base de l'espace. Si à une base de l'espace on associe un point O, alors on obtient un repère . Le point O est l'origine du repère.
Un repère (ou repère cartésien) de l'espace est un quadruplet ( O , e x → , e y → , e z → ) où est un point arbitrairement choisi comme origine et ( e x → , e y → , e z → ) trois vecteurs non coplanaires.
Repère orthogonal et orthonormal
Si les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, alors est un repère orthogonal. Si les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, et qu'en plus OI = OJ alors est un repère orthonormal (ou orthonormé).
Pour se repérer dans l'espace, on utilise un repère orthogonal composé d'une origine O et de trois axes où chacun est perpendiculaire aux deux autres. Un point A de l'espace a trois coordonnées : son abscisse a, son ordonnée b et son altitude c.
Mais en général, on dit que l'espace commence à environ 100 km d'altitude, car après cette limite, beaucoup de choses changent : la température, la pression, la résistance à l'air... Si on monte à plus de 100 km d'altitude, on peut dire que l'on est dans l'espace.
Deux vecteurs u et v sont colinéaires si il existe λ un réel tel que u =λv . Les coordonnées de deux vecteurs colinéaires sont proportionnelles. u (−3 ;9) et v (1 ;−3) sont colinéaires car u =−3v .
coordonnées d'un point
Dans un repère du plan, on a besoin de deux nombres pour indiquer la position d'un point : ce sont ses coordonnées. La première coordonnée, l' abscisse, se lit sur l'axe horizontal (l'axe des abscisses) ; la seconde, l' ordonnée, se lit sur l'axe vertical (l'axe des ordonnées).
Solution détaillée. Les trois points A 1 , A 2 , A 3 sont alignés si et seulement si les vecteurs A 1 A 2 → et A 1 A 3 → sont colinéaires, donc si et seulement si le déterminant des vecteurs A 1 A 2 → , A 1 A 3 → , est nul.
L'espace vectoriel R 3 a pour dimension 3 . La partie { u , v , w } contient exactement trois vecteurs, aussi, pour démontrer que ( u , v , w ) est une base de R 3 , il suffit de démontrer que la partie { u , v , w } est une partie libre ou bien que la partie { u , v , w } est une partie génératrice de R 3 .
Les droites (d) et (d') sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de est nul. Les droites (d) et (d') sont sécantes si et seulement si et ne sont pas colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de n'est pas nul.
Pour savoir si →u, →v et →w sont coplanaires:
Pour celà, on cherche 2 nombres a et b tels que →w=a→u+b→v. Si on peut trouver a et b alors →u, →v et →w sont coplanaires. Sinon →u, →v et →w ne sont pas coplanaires. Les points A, B, C, D sont-ils coplanaires?
Indice : En géométrie vectorielle, pour montrer que 4 points sont coplanaires, il faut montrer que trois des vecteurs qu'ils forment sont coplanaires. Pour ça, il faut exprimer un des trois vecteurs en fonction des deux autres.
Un repère du plan est défini par trois points non alignés (O,I,J). Le point O est l'origine du repère, la droite (OI) est appelée l'axe des abscisses, la droite (OJ) est appelée l'axe des ordonnées. On peut aussi définir un repère à l'aide des vecteurs. Si on pose le repère sera noté avec deux vecteurs non colinéaires.
Un repère de l'espace est constitué de 3 axes : celui des abscisses, celui des ordonnées et celui des cotes. Les coordonnées d'un point de l'espace sont constituées de 3 nombres : l'abscisse, l'ordonnée et la cote de ce point, lisibles sur les axes du même nom.
Un petit moyen mnémotechnique pour ne pas confondre abscisse et ordonnée: Ecrite en script, l'initiale de abscisse se prolonge sur l'horizontale. "Abscisse" désigne donc l'axe horizontal d'un repère. La boucle du o se prolonge verticalement, "ordonnée" désigne donc l'axe vertical d'un repère.
Pour calculer la norme d'un vecteur, il faut utiliser la formule ‖ v → ‖ = v x 2 + v y 2 .
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite.
Définition : Un vecteur de l'espace est défini par une direction de l'espace, un sens et une norme (longueur). Remarque : Les vecteurs de l'espace suivent les mêmes règles de construction qu'en géométrie plane : Relation de Chasles, propriétés en rapport avec la colinéarité, … restent valides.
En mathématiques, une base d'un espace vectoriel V est une famille de vecteurs de V linéairement indépendants et dont tout vecteur de V est combinaison linéaire. En d'autres termes, une base de V est une famille libre de vecteurs de V qui engendre V.
Nous avons appris à nous repérer dans l'espace. Il faut utiliser des mots précis : gauche, droite, devant, derrière, sur, sous, au-dessous, en-dessous et entre.
'L'espace extra-atmosphérique' commence environ 100 km au-dessus de la Terre, là où l'enveloppe d'air qui entoure notre planète disparaît. Sans air pour diffuser la lumière du soleil et produire un ciel bleu, l'espace ressemble à une couverture noire piquée d'étoiles.
Il est un mélange de gaz (ionisés, atomiques et moléculaires), de rayons cosmiques et de poussières. L'énergie qui occupe le même volume, sous forme de rayonnement électromagnétique, correspond au champ de rayonnement interstellaire.