On peut aussi donner un sens à deux parties orthogonales : A et B sont orthogonales si ⟨x,y⟩=0 ⟨ x , y ⟩ = 0 pour tout x∈A x ∈ A et tout y∈B y ∈ B . Pour X⊂E X ⊂ E , X⊥ est alors la plus grande partie de E orthogonale à X .
Soient U et W des sous-espaces de V . On dit que U et W sont orthogonaux, ce que l'on dénote par U⊥W U ⊥ W , si ⟨x,y⟩=0 ⟨ x , y ⟩ = 0 pour tout x∈U x ∈ U et tout y∈W.
Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires. Exemple : On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH : Les droites (AB) et (CG) sont orthogonales car la parallèle (DC) à (AB) est perpendiculaire en C à (CG).
On rappelle que deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul.
Deux vecteurs →u et →v de l'espace sont orthogonaux si et seulement si →u. →v=0. . Deux droites D et Δ de vecteurs directeurs respectifs →u et →v sont dites orthogonales lorsque →u et →v le sont.
Les vecteurs sont parallèles si ⃑ 𝐴 = 𝑘 ⃑ 𝐵 , où 𝑘 est une constante réelle non nulle. Les vecteurs sont orthogonaux si ⃑ 𝐴 ⋅ ⃑ 𝐵 = 0 .
Définitions : - On appelle repère du plan tout triplet (O, ⃗, ⃗) où O est un point et ⃗et ⃗ sont deux vecteurs non colinéaires. - Un repère est dit orthogonal si ⃗et ⃗ ont des directions perpendiculaires. - Un repère est dit orthonormé s'il est orthogonal et si ⃗et ⃗ sont de norme 1.
Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en un point et si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Si deux droites parallèles se coupent en un point, elles se chevauchent complètement.
Deux droites tracées dans un repère du plan sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux. Elles sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1.
deux plans sécants peuvent être orthogonaux. Ces plans n'étant pas parallèles, ils sont sécants. On peut donc également les qualifier de plans perpendiculaires. Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
Deux droites de l'espace sont perpendiculaires si et seulement si elles se coupent en formant un angle droit. Dans l'espace, des droites, non parallèles, peuvent ne pas se couper. Si une des droites est parallèle à une droite perpendiculaire à l'autre alors les deux droites sont dites orthogonales.
Nécessairement, cela signifie qu'elles sont sécantes et donc coplanaires. DEFINITION: deux droites de l'espace sont orthogonales quand en un point de l'espace, leurs parallèles sont perpendiculaires.
La norme d'un vecteur correspond à sa longueur, c'est-à-dire à la distance qui sépare les deux points qui définissent le vecteur.
◦ Soit n un entier. On dit qu'une famille de points {x1,..., xn} de E est orthogonale si ⟨xi, xj⟩ = 0 pour tous i, j avec 1 ≤ i, j ≤ n et i ̸= j. Si de plus ⟨xi, xi⟩ = 1 pour tout i, on dit que cette famille est orthonormée.
Une famille de vecteurs U 1 , U 2 , … , U p est orthogonale si pour tout couple où et sont deux éléments distincts de { 1 , 2 , … , p } , les vecteurs et sont orthogonaux, c'est-à-dire tels que f ( U i , U j ) = 0 .
Dans l'espace, deux droites sont orthogonales si elles sont chacune parallèles à des droites se coupant en angle droit ; deux perpendiculaires étant deux droites orthogonales et sécantes.
Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle de 90 degrés, c'est-à-dire un angle droit.
La propriété de orthocentre d'un triangle.
Notation : Le symbole «⊥» signifie « est perpendiculaire à ». Remarques : • Deux droites perpendiculaires sont sécantes. On utilise une équerre pour tracer une droite perpendiculaire à une autre.
On rappelle que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) = 0 +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}. Les deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) = 0 +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}.
Propriété: Si une droite est la médiatrice d'un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment en son milieu. Propriété : Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales sont perpendiculaires. Propriété :Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
— Un espace euclidien est naturellement un espace vectoriel normé, c'est-à-dire qu'on a les propriétés suivantes, avec x = √q(x): 1. pour tout x ∈ E, x ≥ 0 et x = 0 seulement si x = 0; 2. pour tout x ∈ E et tout λ ∈ R, on a λx = |λ|·x; 3.
Repère orthogonal et orthonormal
Si les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, alors est un repère orthogonal. Si les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, et qu'en plus OI = OJ alors est un repère orthonormal (ou orthonormé).
orthonormé, orthonormée
Se dit d'une base d'un espace vectoriel, orthogonale et telle que la norme de chaque vecteur de la base soit égale à l'unité.
Si les plans sont sécants, alors leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. De plus si →n1⋅→n2=0 alors les plans sont perpendiculaires. La réciproque est vraie: Si les plans sont perpendiculaires, alors leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.