Pour démontrer qu'une matrice A est diagonalisable, la méthode la plus classique consiste à calculer le polynôme caractéristique χA et à le factoriser pour déterminer les valeurs propres de A . Si χA n'est pas scindé, A n'est pas diagonalisable. Si χA est scindé à racines simples, A est diagonalisable.
On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont les termes situés hors de la diagonale principale sont tous nuls.
La matrice A est diagonalisable sur R si le polynôme PA admet deux racines distinctes dans R. En effet, si PA admet une racine double r et A diagonalisable, alors l'endomorphisme de matrice A est égal à rIdE, ce qui n'est pas le cas.
Pour que (respectivement ) soit diagonalisable, il faut et il suffit que les deux conditions suivantes soient satisfaites : Le polynôme caractéristique de (respectivement de ) se factorise en un produit de polynômes du premier degré (non nécessairement distincts) à coefficients dans .
Pour diagonaliser une matrice, une méthode de diagonalisation consiste à calculer ses vecteurs propres et ses valeurs propres. La matrice diagonale D est composée des valeurs propres. La matrice inversible P est composée des vecteurs propres dans le même ordre de colonnes que les valeurs propres associées.
Le théorème spectral en dimension finie en déduit que toute matrice symétrique à coefficients réels est diagonalisable à l'aide d'une matrice de passage orthogonale, car les valeurs propres d'un endomorphisme autoadjoint sont réelles et ses sous-espaces propres sont orthogonaux.
En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d'ordre n est dite s'il existe une matrice B d'ordre n, appelée matrice inverse de A et notée : B = A^−1 telle que : AB = BA = In Si le déterminant d'une matrice A est non nul, alors A est inversible.
Un endomorphisme u qui n'a qu'un nombre fini de valeurs propres (ce qui est toujours le cas en dimension finie) est diagonalisable si et seulement s'il est annulé par un polynôme scindé et à racines simples.
Une matrice diagonale est diagonalisable. Une matrice triangulaire supérieure dont les éléments diagonaux sont deux à deux distincts est diagonalisable. Ce n'est pas nécessairement le cas si les coefficient diagonaux ne sont pas distincts.
5) Une matrice diagonalisable n'est pas forcément inversible : si elle admet 0 comme valeur propre, elle a un noyau non nul donc n'est pas inversible. Pour la réciproque, elle est fausse.
Définition : f ∈ L(E) est diagonalisable s'il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale f est diagonalisable s'il il existe une base de vecteurs propres. Définition : Soient f ∈ L(E) et u ∈ E et α ∈ R. u est un vecteur propre de f associé `a la valeur propre α si u = 0 et f (u) = αu.
La matrice carrée nulle est non-inversible et diagonalisable. Elle est même diagonale. En revanche une matrice carrée est inversible si et seulement si elle n'admet pas 0 pour valeur propre. Ensuite la déterminant d'une matrice non carrée n'existe pas.
La trace d'une matrice carrée M est la somme de ses coefficients diagonaux. On la note Tr(M). Tr ( M ) .
Les diagonales sont les segments qui relient 2 sommets opposés (2 sommets qui ne se suivent pas). Tous les quadrilatères possèdent 2 diagonales. Les sommets A et C sont opposés, le segment [AC] est une diagonale. Les sommets B et D sont opposés, le segment [BD] est une diagonale.
Alors : Si A est à diagonale dominante alors, elle est positive si et seulement si ses coefficients diagonaux sont des réels positifs ou nuls. Si A est à diagonale strictement dominante alors, elle est définie positive si et seulement si ses coefficients diagonaux sont des réels strictement positifs.
Si une matrice est diagonale ou triangulaire, alors les valeurs propres sont les éléments diagonaux de la matrice. Il s'agit d'une matrice triangulaire, donc les valeurs propres sont 4 et 3. Si une matrice A a autant de valeurs propres que la dimension de l'espace, alors A est diagonalisable.
Une matrice triangulaire à la fois inférieure et supérieure est une matrice diagonale.
Un endomorphisme u de E est diagonalisable s'il existe une base de E formée de vecteurs propres de u . Une matrice est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale. On a le théorème important suivant concernant les endomorphismes diagonalisables.
Re : Diagonalisation de matrice 4*4
Donc c'est aussi det(B-xI). Les valeurs propres sont bien 1,1,-1,-1. Ensuite pour diagonaliser il faut trouver les vecteurs propres de 1, il faut résoudre Bv = 1v soit (B-1I)v = 0 (il y en a 2). Même chose pour -1: résoudre Bv = -1v soit (B+1I)v = 0, il y en a 2 aussi.
Exemple : Diagonalisation d'une matrice carré d'ordre 3
Équation caractéristique : det ( A − l I 3 ) = 0 a pour racines les valeurs propres : l 1 = l 2 = 1 ( double ) et l 3 = − 1 .
Si F = E, f est appelée un endomorphisme. Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K.
Exemples des endomorphismes non-diagonalisables. Soit f un endomor- phisme nilpotent: il existe k > 0 tel que fk = 0. Si f(v) = λv, alors fk(v) = λkv = 0, donc λ = 0. Par conséquent, un endomorphisme nilpotent non-nul n'est pas diagonalisable. .
caractérisation d'une matrice inversible
Elle est inversible si et seulement son déterminant est non nul. De plus si est inversible, det ( M − 1 ) = [ det ( M ) ] − 1 .
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.