Écrivons √2 sous la forme d'une fraction irréductible (on peut imaginer que l'on simplifie ab si nécessaire). On obtient alors √2=pq où p et q sont des nombres entiers relatifs qui sont premiers entre eux. De l'égalité √2=pq, on déduit (en élevant au carré) que 2=p2q2 et donc que p2=2q2.
Où l'on démontre que racine de 2 ne peut pas être le quotient de deux entiers et que c'est donc un nombre irrationnel.
La racine carrée de deux, notée √2 (ou parfois 21/2), est définie comme le seul nombre réel positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, autrement dit √2 × √2 = 2. C'est un nombre irrationnel, dont une valeur approchée à 10–9 près est : √2 ≈ 1,414 213 562.
Par exemple, 2,59265… ne se termine pas, il s'agit donc d'un nombre irrationnel. Les nombres irrationnels sont des nombres réels qui ne peuvent pas être exprimés sous forme de fraction simple. Ils ne peuvent pas être énoncés sous la forme d'un rapport comme p/q, où p et q sont tous deux des entiers, et q ≠ 0.
Preuve de l'irrationalité Supposons que √5 est rationnel et écrivons-le sous la forme d'une fraction irréductible m/n (c'est-à-dire que m et n sont premiers entre eux : PGCD(m, n) = 1). L'hypothèse √5 = m/n conduit à 5n2 = m2. Ainsi, 5 divise m2, donc divise m d'après le lemme d'Euclide.
Comme 3 est premier, 3 diviserait p d'o`u l'existence de p ∈ N tel que p = 3p . En reportant dans l'égalité (⋆), on aurait 3p 2 = q2 donc 3 diviserait q, ce qui contredit (p, q) premiers ente eux. La contradiction assure que √ 3 est irrationnel.
Contrairement à d'autres nombres comme 0 ou 2,49, √2 ne peut pas s'écrire comme une fraction (on dit qu'il est irrationnel) : il a un nombre infini de chiffres après la virgule. Une valeur approchée (à seulement 12 chiffres après la virgule) en est 1,414213562373.
il existe donc une paire p,q entiers relatifs tq sqrt(6) = p/q, avec p et q premiers entre eux. De ce dernier résultat on peut remarquer que p est pair, ce qui implique que q l'est aussi, ceci étant absurde parce que p et q sont premiers entre eux. Sqrt(6) est alors irrationnel.
Théorème — Un nombre réel est irrationnel si et seulement si son développement décimal propre n'est pas périodique. On démontre de même la caractérisation analogue via le développement dans n'importe quelle base (entière et supérieure ou égale à 2).
On peut évidemment poser la division et calculer `a la main, mais c'est un peu lourd. Voici une autre méthode qui utilise la calculatrice. les 11 premi`eres décimales de √ 2 : √ 2=1,414 213 562 37... et, finalement, √ 2=1,414 213 562 373 095 048 802...
Vrai : la racine carrée d'un nombre irrationnel positif est irrationnelle.
√ 2 est irrationnel. provoqua un énorme scandale. Il fut tel que la légende rapporte qu' HIPPASE DE METAPONTE, disciple de PYTHAGORE, accusé d'avoir révélé cette découverte au monde (vers 530 avant notre ère), périt noyé, jeté à la mer par ses condisciples.
Par exemple, il est possible de construire un segment de longueur √2 : Soit A de coordonnées (a,0) et K de coordonées (−1,0) . On commence par déterminer, à la règle et au compas, L le milieu de [AK] , qui a donc pour coordonnées ((a−1)/2,0) ( ( a − 1 ) / 2 , 0 ) .
Proposition P : √ 2 est rationnel. Soit P est vraie soit P est vraie. Si P est vraie, il existe deux entiers naturels non nuls p et q tels que √ 2 = p q et p et q le plus petit possible. d'harmonie (2q p = 2q √ 2q = √ 2 ) .
Toute racine carrée d'un entier est irrationnelle, à moins d'être elle-même un entier. Ainsi, √4 = 2 et √9 = 3, nombres rationnels tous les deux; mais √5, √6, √7, √8, qui ne peuvent pas être entiers, puisqu'ils doivent être situés entre 2 et 3, sont forcément irrationnels.
Cours. On s'intéresse à deux propositions A et B et on veut démontrer que A implique B (autrement dit, si A est vraie, alors B l'est aussi). Le raisonnement par l'absurde consiste à supposer que A est vraie et que B est fausse. On aboutit alors à une contradiction, ce qui entraîne que B doit être nécessairement vraie.
1) L'inverse d'un entier non nul est un décimal. Il faut comprendre : « L'inverse de n'importe quel entier non nul est un décimal », c'est-à- dire « Les inverses de tous les entiers non nuls sont des décimaux ».
La somme de deux nombres irrationnels peut être rationnelle ou irrationnelle. Cela dépend totalement des nombres considérés. Il en va de même pour les produits de deux irrationnels.
On appelle nombre rationnel tout nombre qui s'écrit sous la forme m/n où m est un entier et n un entier non nul. Donc 1/3 est un nombre rationnel comme 1/2. alors que 1/2 = 0,5 est un nombre décimal. Donc si a est un rationnel non nul, alors il existe m et n non nuls tel que a = m/n.
En mathématiques, une racine d'un polynôme P(x) est une valeur α telle que P(α) = 0. C'est donc une solution de l'équation polynomiale P(x) = 0 d'inconnue x, ou encore, un zéro de la fonction polynomiale associée. Par exemple, les racines de x2 – x sont 0 et 1.
Faisons deux tests numériques : — (1.41)2 = (1.41)×(1.41) = 1,9881 est strictement plus petit que 2; donc 1.41 est strictement inférieur à L car L vérifie L2 = 2; — (1.42)2 = (1.42) × (1.42) = 2,0164 est strictement plus grand que 2; donc 1.42 est strictement supérieur à L.
Cette fonction agit à l'inverse de la fonction carré. Par exemple : Comme 2² vaut 4 alors vaut 2.
racine carrée de 100 =
= 10.
√3 est irrationnel, et solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers, donc rationnels ; √3 est donc irrationnel quadratique. Son développement en fraction continue est donc périodique.
Le nombre entier "3" est un nombre rationnel.