Définition. Un endomorphisme f de E est dit symétrique si : ∀(x, y) ∈ E2, 〈f(x),y〉 = 〈x, f(y)〉.
En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que ai,j = aj,i pour tous i et j compris entre 1 et n, où les ai,j sont les coefficients de la matrice et n est son ordre.
Un endomorphisme f de E est dit orthogonal si, et seulement si, il conserve le produit scalaire, c'est-`a-dire si, et seulement si ∀x,y ∈ E, (f (x)|f (y)) = (x |y). Soit E un espace vectoriel euclidien.
Un endomorphisme u de E est diagonalisable s'il existe une base de E formée de vecteurs propres pour u . Une matrice est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.
L'endomorphisme induit est la double restriction de l'endomorphisme initial avec à la fois un nouvel ensemble de départ et un nouvel ensemble d'arrivée. La condition de stabilité est une condition nécessaire et suffisante pour que cette double restriction soit une application.
Si F = K on dit que f est une forme linéaire. Si F = E, f est appelée un endomorphisme. Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K.
Remarque. Pour montrer qu'un endomorphisme f ∈ L(E) est bijective, il suffit de montrer que f est injectif (en montrant par exemple que Ker(f) = {0E}) ou que f est surjectif (en montrant Im(f) = F).
Pour déterminer ses valeurs propres il faut, d'après la caractérisation précédente, chercher les éléments de , tels que det ( f − λ I d E ) = 0 . Pour cela il est naturel d'écrire la matrice associée à dans la base canonique et de calculer det ( A − λ I 2 ) qui est égal à det ( f − λ I d E ) .
Un endomorphisme d'un espace de dimension n est nilpotent si et seulement si son polynôme caractéristique est égal à Xn. En effet, le polynôme caractéristique est unitaire, de degré n et a les mêmes facteurs premiers que le polynôme minimal.
la méthode la plus classique consiste à calculer le polynôme caractéristique χA et à le factoriser pour déterminer les valeurs propres de A . Si χA n'est pas scindé, A n'est pas diagonalisable. Si χA est scindé à racines simples, A est diagonalisable.
Théorème et définition : Soit E un espace vectoriel euclidien ou hermitien, et u un endomorphisme de E . Il existe un unique endomorphisme u∗ de E , appelé adjoint de u , tel que ∀x,y∈E, ⟨u(x),y⟩=⟨x,u∗(y)⟩. ∀ x , y ∈ E , ⟨ u ( x ) , y ⟩ = ⟨ x , u ∗ ( y ) ⟩ .
Un R -espace vectoriel E muni d'un produit scalaire s'appelle un espace préhilbertien. Si E est de dimension finie, E est appelé espace euclidien. Les exemples classiques de produits scalaires sont : Sur Rn , ⟨x,y⟩=∑nk=1xkyk ⟨ x , y ⟩ = ∑ k = 1 n x k y k .
On vérifie que les colonnes de A A forment une base orthonormée. Ainsi, f f est un endomorphisme orthogonal. De plus, det(A)=1 det ( A ) = 1 . f f est donc une rotation.
1.1.
En dimension 2, le déterminant est très simple à calculer : det a b c d = ad − bc. C'est donc le produit des éléments sur la diagonale principale (en bleu) moins le produit des éléments sur l'autre diagonale (en orange).
Définition 1.6 (Matrice définie positive) Une matrice symétrique A dont les éléments sont des nombres réels, est définie positive si pour tout vecteur x ∈ Rn non nul on a xT Ax > 0.
Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable. Les sous-espaces propres d'un endomorphisme symétrique f ∈ L(E)/ d'une matrice symétrique sont 2 `a 2 orthogonaux. Tout endomorphisme symétrique f ∈ L(E) est diagonalisable dans une base orthonormée.
Une matrice nilpotente n'est pas inversible. En effet, soit M une matrice nilpotente, d'indice p. On a alors Mp = 0 et Mp−1 = 0. Supposons M inversible alors Mp−1 = M−1.Mp = 0 c'est absurde.
L'indice d'une matrice nilpotente est égal à la dimension de sa plus grande matrice de Jordan.
Définition d'une matrice nilpotente
Une matrice nilpotente est une matrice carrée dont une puissance est nulle, c'est-à-dire telle qu'il existe un entier naturel tel que N p = 0 . Cela entraîne que quelque soit l'entier r supérieur ou égal à , on a N r = 0 .
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.
La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des multiplicités géométriques est égale à la taille de M. Or chaque multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique correspondante.
En algèbre linéaire, si f est une application linéaire, alors f(0)=0 (où 0 est le vecteur nul).
Une matrice est inversible si et seulement si l'endomorphisme qui lui est associé par rapport à la base canonique est inversible. Soit un endomorphisme d'un espace de dimension . On a les équivalences suivantes : est inversiblef est bijectiff est injectiff est surjectif le rang de est égal à .
Exercice 2 Soit f ∈ L(E) telle que f3 = f2 + f, montrer que E = kerf ⊕ Imf. −→ y = f (−→x) ∈ Imf ∩kerf, il s'agit de prouver que −→ y = −→ 0 . Ainsi −→ y = −→ 0 . est bien la somme d'un élément de kerf et d'un élément de Imf.