Soient A et B deux points du plan P , α et β deux réels tels que α+β = 0 . Il existe un unique point G tel que : α −−→ GA +β −−→ GB = −→ 0 . Ce point est appelé barycentre des deux points pondérés (A, α) et (B , β) .
L'existence et l'unicité de ce point se prouvent aisément en utilisant la relation de Chasles. , le barycentre des points (A1, … , An) affectés des coefficients (a1, … , an). Dans le cas particulier où a1 = a2 = … = an, on parle d'isobarycentre.
Cela se généralise à l'espace : un point peut être barycentre de plusieurs points. En ce qui te concerne, tu pars de AL = 3AC et tu l'exprimes sous la forme aLA + cLC = 0 (où a et b seront à déterminer) en "utilisant Chasles" alors L sera barycentre de {(A,a)(C,c)}.
Les coordonnées X et Y du barycentre s'obtiennent en sommant les coordonnées pondérées de chaque site et en les divisant par la somme des pondérations. Autrement dit : pour chaque site, prendre ses coordonnées x et y, les multiplier par leur poids relatif, en faire la somme puis diviser par le total des poids relatifs.
Soient (A, a), (B, b) et (C, c) trois points pondérés avec a+b+c ≠ 0 et a+b ≠ 0. Si G est le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c) et si H est le barycentre de (A, a) et (B, b), alors G est le barycentre de (H, a+b) et (C, c).
Ainsi on peut montrer que deux droites sont parallèles en montrant que le déterminant de deux vecteurs directeurs de chaque droite est nul. On peut aussi montrer qu' elles sont perpendiculaires si a. a'+b. b'=0, où la 2ème droite a pour équation a'x+b'y+c'= 0.
Un barycentre, du mot grec barus : poids et centre, est un point d'équilibre entre deux poids. Il s'agit d'un principe mis en évidence pour la première fois par le mathématicien et philosophe grec Archimède.
Ainsi, G G est sur la droite (AA′) ( A A ′ ) . De même, G G est sur la droite (BB′) ( B B ′ ) et G G est sur la droite (CC′) ( C C ′ ) . Ainsi, les trois droites sont concourantes en G G . De plus, puisque G G est le barycentre de (A,1) ( A , 1 ) et (A′,2) ( A ′ , 2 ) , on a −−→AG=23−−→AA′ A G → = 2 3 A A ′ → .
Comment démontrer qu'un point est le centre de gravité ? Si on peut tenir l'objet en équilibre sur un point, alors il s'agit du centre de gravité de l'objet.
Le centre de gravité est donc le « centre géométrique », c'est-à-dire le barycentre en considérant que tous les points de l'objet ont la même pondération (isobarycentre).
3) Le barycentre existe si et seulement si la somme des coefficients est non nulle.
Il existe un unique point G , appelé \textbf{barycentre} du système de points pondérés (Ai,ai)i=1,…,n ( A i , a i ) i = 1 , … , n , tel que n∑i=1ai−−→GAi=⃗0. ∑ i = 1 n a i G A i → = 0 → . Pour tout point O de E , on a n∑i=1ai−−→OAi=(n∑i=1ai)−−→OG.
Un peu d'histoire
Le premier à avoir étudié le barycentre en tant que centre des poids, que l'on appelle aujourd'hui centre de gravité, est le mathématicien et physicien Archimède au IIIème siècle avant Jésus-Christ.
Le centre de gravité d'un triangle rectangle se trouve au tiers des côtés de l'angle droit. Cette propriété facilite le calcul. Notons que le centre de gravité de la ligne polygonale homogène formée par les côtés du triangle est, lui, le centre du cercle inscrit dans le triangle médian.
La médiane est la droite qui part d'un sommet et qui va relier le milieu du côté opposé. Un triangle a trois médianes. Ces médianes sont concourantes, c'est-à-dire que les droites se coupent en un seul point. Ce point est le centre de gravité.
Il est déterminé pour que la somme des vecteurs reliant tous les points à G, affectés du coefficient du point associé, soit nulle. Ce barycentre est le centre de gravité de l'ensemble des points.
Si un objet est constitué d'un ensemble de masses ponctuelles, alors si nous additionnons le produit de chacune de ces masses avec la distance de cet élément de masse de l'axe de rotation, puis divisons cette somme par la somme de toutes les masses de notre système, alors cette fraction est égale au centre de gravité.
1) Si les droites sont concourantes en m (nécessairement différent de p), la droite ∆ passe aussi par m. Comme elle passe par m et p c'est donc D et son équation est proportionnelle `a δ : δ − λδ = λ δ .
Plusieurs droites sont dites concourantes si elles se coupent en un même point. Dire que 3 droites sont concourantes signifie qu'elles se coupent en un même point, et non qu'elles se coupent 2 à 2!
Droites concourantes. Droites passant par un même point : Lieu des points équidistants de deux droites concourantes : deux droites perpendiculaires formées par les bissectrices des quatre angles que déterminent les deux droites.
Un objet pendu se positionne en équilibre lorsqu'il y a autant de matière à droite qu'à gauche, autant devant que derrière …. Par exemple, le disque pendu se met en équilibre lorsqu'il y a autant de matière (un demi-disque) de chaque côté de la verticale passant par le point de fixation.
Le centre de gravité d'un triangle est au 2/3 en partant du sommet de chacune de ses médianes. Une démonstration qui utilise la géométrie analytique dans un repère (O ; x, y, z). Créé par Sal Khan.
Si une plaque homogène possède un axe de symétrie, alors son centre de gravité se situe sur cet axe de symétrie. De même, si une plaque homogène possède plusieurs axes de symétrie, alors son centre de gravité se situe à l'intersection de ces axes de symétrie.
Définition: Définition : Deux droites distinctes sont dites parallèles si elles n'ont aucun point en commun. Les droites (d1) et (d2) sont parallèles. Remarque : Deux droites qui ne sont pas parallèles sont sécantes. Attention : Deux droites qui ne se coupent pas sur une figure, ne sont pas forcément parallèles.