Pourvu que A soit un anneau intègre, c'est-à-dire si le produit de deux éléments non nuls de A n'est jamais nul, alors on dit qu'un polynôme P∈A[x] est
On dit qu'un polynôme P est irréductible sur A[X], s'il est non nul, non inversible dans A[X] et que toute réduction P = QR où Q, R ∈ A[X] implique que soit Q, soit R est inversible. On notera c(P) le contenu de P, autrement dit le pgcd des coefficients de P.
Les polynômes irréductibles de C[X] sont les polynômes de degré 1. 3. Si P et Q appartiennent à C[X], alors P divise Q si et seulement si toute racine de P de multiplicité k est racine de Q de multiplicité au moins k.
Pour décomposer un polynôme P∈C[X] P ∈ C [ X ] en produits d'irréductibles de C[X] , on trouve des racines b1,…,bq b 1 , … , b q de P en cherchant des racines évidentes, en utilisant les résultats que l'on connait sur les nombres complexes (résolution des équations de degré 2, recherche de racines n -ièmes) ou en ...
– Si tous les coefficients ai sont nuls, P est appelé le polynôme nul, il est noté 0. – On appelle le degré de P le plus grand entier i tel que ai = 0 ; on le note degP. Pour le degré du polynôme nul on pose par convention deg(0) = −∞. – Un polynôme de la forme P = a0 avec a0 ∈ K est appelé un polynôme constant.
Le degré du polynôme nul est, soit laissé indéfini, soit défini comme étant négatif (habituellement, −1 ou −∞). Comme toute valeur constante, la valeur 0 peut être considérée comme un polynôme (constant), appelé le polynôme nul. Il n'a aucun terme non nul et ainsi, de façon rigoureuse, il n'a pas de degré non plus.
Pour vérifier que a est racine de P , il suffit de calculer P ( a ) et de vérifier que le résultat vaut 0. Pour vérifier que a est racine double de P , on peut vérifier que le polynôme est divisible par (X − a )2 ou bien vérifier les égalités P ( a ) = 0 et P ′( a ) = 0, où P ′ est le polynôme dérivé de P .
Définition 1.12 Un polynôme P ∈ K[X] est dit irréductible si ce n'est pas une constante et s'il n'y a pas de factorisation de P en deux polynômes non constants (autrement dit P n'est pas constant et ses seuls diviseurs sont les constantes non nulles et les polynômes de la forme cP o`u c est une constante non nulle).
Les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 dont le discriminant est strictement négatif. X4+1 est irréductible dans R[X] car de degré 4 et il n'a aucune racine réelle. ∀x∈R x4+x2+1>0 donc P n'a pas de racines dans R ni dans Q.
Dans la suite, K est un corps, par exemple K=R ou C . On dit qu'un polynôme P de K[X] est irréductible s'il est non constant, et si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et les polynômes qui lui sont associés, c'est-à-dire les polynômes de la forme λP, avec λ∈K∗ λ ∈ K ∗ .
Définition. Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun (autre que 1).
Une fraction rationnelle a une forme irréductible unique. Définition 4.3. Si F = P Q ∈ K(X), on note deg(F) = deg(P) − deg(Q). Par divison euclidienne, on peut écrire F = P1 + P2 Q , où deg(P1) < deg(Q), et P2 Q est irréductible.
En mathématiques, un polynôme constant est un polynôme dont tous les coefficients sont nuls à l'exception éventuelle du coefficient constant. Un polynôme nul est un polynôme dont tous les coefficients sont nuls, y compris le coefficient constant.
En algèbre, un polynôme est dit scindé sur un corps commutatif K s'il est décomposable en facteurs de degré 1 sur K. C'est toujours le cas si K est un corps algébriquement clos ; En algèbre homologique, une suite exacte courte dans une catégorie abélienne est dite scindée s'il existe une section du second morphisme.
Le discriminant du polynôme X 2 + 4 X + 5 vaut − 4 donc ce polynôme n'a pas de racine réelle. Dans ce cas, P a une unique racine réelle : -1 ,et trois racines dans C :-1, 2+i, 2-i .
On dit qu'un réel r est une racine d'une fonction polynôme du troisième degré f d'expression f(x) = ax3 + bx2 + cx + d lorsque f(r) = 0, c'est-à-dire lorsque ar3 + br2 + cr + d = 0.
Factoriser un polynôme du second degré consiste à l'écrire sous la forme d'un produit de polynôme du premier degré. Ce n'est possible que si la fonction polynôme possède 1 ou 2 racines. Une fonction polynôme de degré 2 s'écrit sous la forme où , , sont des réels avec .
Définition de l'ordre de multiplicité d'une racine
Le plus grand entier tel que soit divisible par ( X − a ) n est appelé l'ordre de multiplicité de la racine dans .
Définition 6 : On dit qu'un polynôme P est factorisable par (x − a) s'il existe un polynôme Q tel que pour tout x réel : P(x) = (x −a)Q(x) .
En pratique, cela revient à diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre. Une fraction est irréductible lorsque l'on ne peut plus la simplifier, c'est-à-dire que son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1.
Soient P ( x ) = a x 2 + b x + c P(x) = ax^2+bx+c P(x)=ax2+bx+c polynôme du second degré et Δ \Delta Δ son discriminant. Si Δ < 0 \Delta < 0 Δ<0, alors P P P est de signe constant égal au signe de a a a sur R R R.
Pour tout réel a et tout entier positif n, P(x)=(x − a)n est un polynôme de degré n. Proposition 6. Soient P,Q deux polynômes. Alors deg(P+Q) ⩽ max(degP, degQ) et deg(P× Q) = degP + degQ (avec la convention −∞ + α = −∞ pour que cet énoncé soit valable si l'un des deux polynômes est nul).
C'est donc une équation du second degré. Le nombre de solutions de l'équation ax^2+bx+c=0 (avec a\neq 0), dépend du signe du discriminant \Delta : Si \Delta<0, l'équation n'admet aucune solution réelle. Si \Delta=0, l'équation admet une unique solution (dite « double ») : x_0=\dfrac{-b}{2a}.