1. L'application f est bijective si et seulement si il existe une application g : F → E telle que f ◦ g = idF et g ◦ f = idE. 2. Si f est bijective alors l'application g est unique et elle aussi est bijective.
Une application ��, d'un ensemble E dans un ensemble F est une bijection ou une application bijective lorsque tout élément de F admet un unique antécédent par f dans E. Soit f l'application de IR vers IR définie par : f(x) = x+1. L'application f est bijective.
Sur un segment. Théorème de la bijection entre segments — Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a, b] et à valeurs réelles, alors elle constitue une bijection entre [a, b] et l'intervalle fermé dont les bornes sont f(a) et f(b).
Théorème (Bijectivité, réciproque et composition) Soient f : E −→ F et g : F −→ G deux applications. (i) Si f est bijective de E sur F, f −1 est bijective de F sur E et : f −1 −1 = f . (ii) Si f et g sont bijectives, g ◦ f l'est aussi et : g ◦ f −1 = f −1 ◦ g−1.
Une fonction f:E→F f : E → F est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective, ou encore si pour tout y∈F y ∈ F , l'équation y=f(x) y = f ( x ) possède une unique solution. Si E et F sont des ensembles finis, E et F doivent alors avoir le même nombre d'éléments.
On va démontrer directement que f f est bijective en prouvant que, pour tout w∈C∖{i} w ∈ C ∖ { i } , l'équation f(z)=w f ( z ) = w admet une unique solution z∈C∖{−3} z ∈ C ∖ { − 3 } . Pour cela, on remarque que iz−iz+3=w⟺iz−i=wz+3w⟺(i−w)z=3w+i.
On dit qu'une application linéaire f : Rn → Rm est injective si deux vecteurs différents ont des images différents surjective Si Im(f ) atteint tout l'espace d'arrivée Rm. bijective (ou bien un automorphisme) si n = m et que f est inversible. f (u2) = ···, f (u3) = ···, ···, f (un) = ···.
Pour démontrer qu'une application f:E→F f : E → F est surjective, on démontre que, pour tout y∈F y ∈ F , l'équation y=f(x) y = f ( x ) admet toujours au moins une solution x dans E .
Une application f : E → F admet une application réciproque si et seulement si elle est bijective. Si f : E → F est bijective, alors f−1 : F → E est bijective. En effet, l'application réciproque associée `a f−1 est f : (f−1)−1 = f.
En mathématiques, une involution est une application bijective qui est sa propre réciproque, c'est-à-dire par laquelle chaque élément est l'image de son image. C'est le cas par exemple du changement de signe dans l'ensemble des nombres réels, ou des symétries du plan ou de l'espace en géométrie euclidienne.
Pour montrer que f n'est pas surjective, il suffit de trouver un élément y de F qui n'a aucun antécédent. Soit u : R −→ R+ l'application telle que u(x)=0si x < −1 et u(x) = x + 1 si x ⩾ −1. Les réels −1 et −2 sont distincts et ont la même image : u(−1) = u(−2) = 0. Donc u n'est pas injective.
Pour démontrer que f f réalise une bijection de R R sur R R , on peut remarquer qu'il s'agit d'une fonction continue, strictement croissante, et telle que limx→−∞f(x)=−∞ lim x → − ∞ f ( x ) = − ∞ et limx→+∞f(x)=+∞ lim x → + ∞ f ( x ) = + ∞ .
Si F = E, f est appelée un endomorphisme. Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K.
D'après le théorème des fonctions réciproques, la fonction est dérivable en tout point image d'un tel que. Mais on a : f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0 , donc est dérivable en tout point autre que. Donc est dérivable sur. Représentation graphique de et de dans un repère orthonormé.
Si f est continue, dérivable et strictement monotone sur I, alors f : I → f(I) est une bijection et sa réciproque est dérivable. Exercice 3 Soit f et g deux fonctions définies sur un in- tervalle I ⊂ R.
Méthode: On vérifie l'égalité des deux ensembles par correspondance des éléments qui les constituent. ⇔x∈∁E(f-1(F)). On peut alors conclure f-1(∁BF)=∁E(f-1(F)). Soit f:E→F une application.
Une application ϕ:E→F ϕ : E → F est une application affine s'il existe une application linéaire →ϕ:E→F ϕ → : E → F telle que, pour tous A,B∈E A , B ∈ E , ϕ(B)=ϕ(A)+→ϕ(−−→AB) ϕ ( B ) = ϕ ( A ) + ϕ → ( A B → ) .
Pour définir une application linéaire, on peut se contenter de la définir sur une base. Théorème : Soit (ei)i∈I ( e i ) i ∈ I une base de E et soit (fi)i∈I ( f i ) i ∈ I une famille de vecteurs de F . Alors il existe un unique u∈L(E,F) u ∈ L ( E , F ) tel que u(ei)=fi u ( e i ) = f i pour tout i∈I i ∈ I .
Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une application linéaire de dans soit un automorphisme est que la matrice associée à dans une base quelconque de soit inversible. De plus, si est un automorphisme de et si A = [ f ] B E , la matrice de dans la base est égale à , inverse de la matrice .
La fonction carrée n'est pas une bijection sur car elle n'est pas surjective sur , mais elle n'est même pas une bijection sur son image, c'est-à-dire , car elle n'est pas injective.
Une application f est dite injective ou est une injection si tout élément de son ensemble d'arrivée a au plus un antécédent par f, ce qui revient à dire que deux éléments distincts de son ensemble de départ ne peuvent pas avoir la même image par f.
En mathématiques, une surjection ou application surjective est une application pour laquelle tout élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent, c'est-à-dire est image d'au moins un élément de l'ensemble de départ. Il est équivalent de dire que l'ensemble image est égal à l'ensemble d'arrivée.
Si on connaıt une base B de E et une base C de F (ou si on peut déterminer facilement ces bases), l'applica- tion f est bijective si, et seulement si, sa matrice MatB,C (f) est inversible. Si dimE = dimF, il suffit de vérifier que Kerf = {0E} ou que f est surjective (Théor`eme du rang).
Pour montrer qu'un endomorphisme f ∈ L(E) est bijective, il suffit de montrer que f est injectif (en montrant par exemple que Ker(f) = {0E}) ou que f est surjectif (en montrant Im(f) = F).
Caractérisation des applications linéaires injectives et surjectives. Soit une application linéaire du vectoriel dans le vectoriel , l'application est surjective si et seulement si son image est égale à l'espace . l'application est injective si et seulement si son noyau ne contient que le vecteur nul.