Pour savoir si la droite (MN) est incluse dans le plan (ABC): On regarde si le point M appartient au plan (ABC) en appliquant la méthode "A appartient à un plan". Puis on refait pareil avec le point N. Si les 2 points M et N appartiennent au plan (ABC), alors la droite (MN) est incluse dans le plan (ABC).
Une droite appartient à un plan si chacun des ses points appartiennent à ce plan. Pour montrer qu'une droite appartient un plan il suffit de montrer que deux points de cette droite appartient au plan.
Deux plans distincts sont : - soit strictement parallèles si leur intersection est vide, - soit sécants et leur intersection est une droite.
Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie qui affirme que, dans un plan, une droite parallèle a l'un des coté d'un triangle sectionne se dernier d'un triangle semblable.
Pour vérifier si des droites sont parallèles, il faut donc mesurer la distance qui les sépare en plusieurs endroits différents. Si cette distance ne change pas, les droites sont parallèles. Attention ! Cette distance se mesure toujours perpendiculairement aux deux droites tracées.
Pour montrer qu'un point appartient à un plan donné par une équation cartésienne, on s'assure que ses coordonnées vérifient l'équation. Pour passer d'une équation cartésienne à une équation paramétrique d'un plan, on exprime une variable en fonction des 2 autres qu'on appelle t et t′.
Se repérer dans un plan
Pour localiser un élément dans un plan, il faut un repère, souvent constitué de deux axes qui se croisent : l'axe horizontal que l'on appelle l'axe des abscisses. l'axe vertical que l'on appelle l'axe des ordonnées et le point d'intersection, qu'on appelle l'origine (O) du repère.
Un vecteur normal à (Q) est : Il n'existe pas de réel k tel que 1xk=2 et (-1)xk=1 donc ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Les plans (P) et (Q) ne sont donc pas parallèles. Ils sont par conséquent sécants, et leur intersection est une droite.
Des droites sécantes sont des droites qui se croisent en un seul point. On qualifie de point d'intersection le point de rencontre entre deux droites ou plus.
Trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés. Soient les points A\left(1;-2;0\right), B\left(3;4;0\right) et C\left(3;1;5\right).
« La ligne droite est le plus court chemin entre deux quelconques de ses points ». On définit ainsi le segment de droite limité par ces deux points. Ensuite on dit que trois points sont alignés si et seulement si l'un de ces trois points appartient au segment déterminé par les deux autres.
Une droite est caractérisée par la donnée d'un point et d'un vecteur non nul, appelé vecteur directeur. Si (d) passe par A et que ⃗ u est un vecteur directeur, on pourra noter : ( d ) = ( A ; u ⃗ (d)=(A ;u ).
Un repère du plan est défini par trois points non alignés (O,I,J). Le point O est l'origine du repère, la droite (OI) est appelée l'axe des abscisses, la droite (OJ) est appelée l'axe des ordonnées. On peut aussi définir un repère à l'aide des vecteurs. Si on pose le repère sera noté avec deux vecteurs non colinéaires.
Un point M appartient au plan (ABC) si et seulement si le vecteur \overrightarrow{\textrm{AM}} est égal à une combinaison linéaire des vecteurs \overrightarrow{\textrm{AB}} et \overrightarrow{\textrm{AC}}.
Pour déterminer une équation cartésienne d'un plan passant par A et de vecteur normal \vec{n}, on peut : donner la forme générale de l'équation : ax + by + cz + d = 0 ; remplacer les coefficients a, b, c par les coordonnées du vecteur \vec{n} ; déterminer ensuite la valeur de d à l'aide des coordonnées du point A.
On peut trouver la même équation en décomposant 𝐴 𝑀 comme 𝐴 𝑂 + 𝑂 𝑀 et en utilisant le vecteur position de 𝑀 , ⃑ 𝑟 = 𝑂 𝑀 , et celui de 𝐴 , ⃑ 𝐴 = 𝑂 𝐴 ; on trouve alors que 𝐴 𝑀 = ⃑ 𝑟 − ⃑ 𝐴 = 𝑡 ⃑ 𝑑 , c'est-à-dire ⃑ 𝑟 = ⃑ 𝐴 + 𝑡 ⃑ 𝑑 : il s'agit de l'équation de la droite sous forme vectorielle.
Pour cela, il va falloir calculer AE/AD dans un premier temps et calculer ensuite BE/CD. Ainsi AE/AD = BE/CD donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les deux droites sont parallèles. Si les résultats obtenus après calcul sont différents, cela signifie que les deux droites ne sont pas parallèles.
1. Les droites (AC) et (BD) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (AB). Ainsi, on en déduit que les droites (AC) et (BD) sont parallèles entre elles.
Points alignés
On dit que trois points ou plus sont alignés s'ils sont sur une même droite. A, B et C sont alignés car A, B et C sont sur la même droite (d).
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est alors perpendiculaire à l'autre.
Réciproque du théorème de Thalès
Montrer que les droites (AB) et (TE) sont parallèles. Les produits en croix sont égaux donc CD / AC = CE / BC. On sait également que les points A,D,C et B,E,C sont alignés dans le même ordre. Donc d'après la réciproque du théorème de Thalès (AB) et (DE) sont parallèles.