Pour montrer qu'un ensemble F est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E, on peut chercher à exprimer F sous forme d'un vect d'éléments de E. L'interêt de cette méthode est de pouvoir ensuite facilement trouver une base.
Pour démontrer que F est un sous-espace vectoriel de E , on applique la caractérisation des sous-espaces vectoriels, c'est-à-dire qu'on vérifie que 0E∈F 0 E ∈ F et que, pour tout couple (x,y)∈F2 ( x , y ) ∈ F 2 et tout scalaire λ∈K λ ∈ K , on a {x+y∈Fλx∈F.
Définition. Vect(A) est appelé le sous-espace engendré par A. Soit F un sous-espace vectoriel. Si Vect(A) = F on dit que A est une partie génératrice (ou une famille génératrice) de F ou que A engendre F.
Une partie F de E est appelée un sous-espace vectoriel si : • 0E ∈ F, • u + v ∈ F pour tous u, v ∈ F, • λ · u ∈ F pour tout λ ∈ et tout u ∈ F. Remarque. Expliquons chaque condition. La première condition signifie que le vecteur nul de E doit aussi être dans F.
Pour montrer qu'un ensemble E est un e.v., il suffit généralement de montrer que E est un s.e.v. d'un autre e.v. bien connu (ex. : fonctions ayant une certaine propriété, matrices d'une forme particuli`ere, ...) ou une variante (u + v ∈ E et λu ∈ E, ou : λu + µv ∈ E).
Si F ⊂ G alors F ∪ G = G donc F ∪ G est un sous-espace vectoriel. De même si G ⊂ F.
Pour montrer que les vecteurs sont linéairement indépendants, on résout le système associé à l'équation vectorielle a \vec{u}+b \vec{v}+c \vec{w}=\overrightarrow{0} : on doit obtenir a=b=c=0. Les vecteurs étant linéairement indépendants, ils forment une base de l'espace.
Pour montrer que la famille {v1,v2,v3} est une base nous allons montrer que cette famille est libre et génératrice. Ainsi les coefficients vérifient a = b = c = 0, cela prouve que la famille est libre.
On peut vérifier que ces deux vecteurs sont linéairement indépendants, donc ils forment une base de F. Si z − 3y + 3x = 0, il n'y a pas de solution. Si z − 3y + 3x = 0, on obtient un syst`eme triangulaire, il y a donc une unique solution. Conclusion : (x, y, z) ∈ F ⇐⇒ z − 3y + 3x = 0.
En algèbre linéaire, un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E, est une partie non vide F, de E, stable par combinaisons linéaires. Cette stabilité s'exprime par : la somme de deux vecteurs de F appartient à F ; le produit d'un vecteur de F par un scalaire appartient à F.
Pour montrer que la famille (u, v) est libre, prenons une combinaison linéaire nulle de u et v : λ1u + λ2v = 0. v et donc u et v sont colinéaires, ce qui est absurde par hypothèse. cas possible est λ1 = λ2 = 0, et donc la famille (u, v) est bien libre.
Pour montrer que les sous-espaces vectoriels F et G sont supplémentaires, il suffit de montrer que F ∩ G = {0} et dimF + dimG = dimE. dim(F + G) = dimF + dimG − dim(F ∩ G).
Autrement dit, une partie F de E est un sous-espace vectoriel si elle n'est pas vide, et est stable par combinaison linéaire. Exemples : {(x,y,z)∈R3; x+y−3z=0} { ( x , y , z ) ∈ R 3 ; x + y − 3 z = 0 } est un sous-espace vectoriel de R3 .
Si la famille \(u_1, u_2,…, u_n\) est libre, il suffit de montrer que la dimension de \(E\) est égale à \(n\) pour montrer que la famille est une base de \(E\) (donc est génératrice).
En algèbre linéaire, une famille génératrice est une famille de vecteurs d'un espace vectoriel dont les combinaisons linéaires permettent de construire tous les autres vecteurs de l'espace. d'éléments de E (vecteurs) est dite génératrice de E si : . Si en plus la famille est libre, alors c'est une base de E.
Définition d'une base
Une famille de vecteurs de E est une base de E si c'est une famille à la fois génératrice de E et libre. De façon équivalente, une famille est une base de l'espace vectoriel E quand tout vecteur de l'espace se décompose de façon unique en une combinaison linéaire de vecteurs de cette base.
On trouve les coordonnées de chaque vecteur. On regarde si les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles. Si les coordonnées sont proportionnelles, alors les vecteurs sont colinéaires. Si les coordonnées ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.
les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que u → = k v → \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v} u =kv .
L'espace vectoriel R 3 a pour dimension 3 . La partie { u , v , w } contient exactement trois vecteurs, aussi, pour démontrer que ( u , v , w ) est une base de R 3 , il suffit de démontrer que la partie { u , v , w } est une partie libre. Le triplet ( 0 , 0 , 0 ) est l'unique solution du système ( S ) .
Vect(A) est donc l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant A. Vect(A) est une partie de E non vide (même lorsque A est l'ensemble vide) car le vecteur nul 0E, en tant que somme vide, est combinaison linéaire d'éléments de A.
Alors les vecteurs V 1 , V 2 , … , V p sont linéairement indépendants si et seulement si il existe un mineur d'ordre , non nul, extrait de la matrice ( a i , j ) ) de M n , p ( K ) .
Sur un corps K, un espace vectoriel E est dit de dimension finie s'il admet une base finie. Il suffit pour cela qu'il admette une famille génératrice finie. Les espaces de dimension finie jouissent de propriétés qui leur sont propres. Les bases duales en sont des exemples.
Etant donnés deux sous-espaces vectoriels et de , la somme des sous-espaces et est dite directe et s'écrit F ⊕ G si et seulement si tout élément de s'écrit d'une manière unique comme la somme d'un élément de et d'un élément de . La somme F ⊕ G est appelée somme directe de et .
Soit E un espace vectoriel, et A une partie de E . On appelle espace vectoriel engendré par A le plus petit sous-espace vectoriel (au sens de l'inclusion) de E qui contient A . Il est noté vect(A) (en anglais span(A) ).
Si F = K on dit que f est une forme linéaire. Si F = E, f est appelée un endomorphisme. Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K.