Pour l'intervalle fermé moins 𝑎, 𝑎, si la fonction est impaire, l'intégrale définie de moins 𝑎 à 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à zéro. Et si elle est paire, on trouve qu'elle est égale à deux fois l'intégrale définie de zéro à 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥.
Si on demande d'étudier la parité d'une fonction, il faut dire si elle paire, impaire ou ni l'un ni l'autre. Conseil On peut s'aider de la courbe de f pour conjecturer si elle paire, impaire ou ni l'un ni l'autre. Si f(−x)=f(x) alors f est paire. Si f(−x)=−f(x) alors f est impaire.
Les intégrales de fonctions paires, lorsque les limites d'intégration vont de −a à a, impliquent deux aires égales, car elles sont symétriques par rapport à l'axe des y . Les intégrales de fonctions impaires, lorsque les limites d'intégration sont de la même manière [−a,a], sont évaluées à zéro car les zones au-dessus et en dessous de l'axe des x sont égales.
Une primitive d'une fonction paire continue sur E n'est pas forcément impaire, sauf si E est un intervalle et si de plus la primitive considérée est celle qui s'annule en 0. La composée de deux fonctions impaires est impaire ; la composée g ∘ f d'une fonction paire g avec une fonction impaire f est une fonction paire.
On dit que f est intégrable sur I ou que ∫If ∫ I f est absolument convergente si ∫I|f| ∫ I | f | converge. Théorème : Si f est intégrable sur I , alors ∫If(t)dt ∫ I f ( t ) d t converge. Si ∫If(t)dt ∫ I f ( t ) d t converge sans que f ne soit intégrable sur I , alors on parle d'intégrale semi-convergente.
Les exemples les plus simples de fonctions non intégrables sont : dans l'intervalle [0, b] ; et dans tout intervalle contenant 0. Ceux-ci ne sont intrinsèquement pas intégrables, car la zone que représenterait leur intégrale est infinie . Il y en a d'autres également, pour lesquels l'intégrabilité échoue parce que l'intégrande saute trop.
Si une fonction est continue sur un intervalle donné, elle est intégrable sur cet intervalle . De plus, si une fonction ne possède qu'un nombre fini de discontinuités sur un intervalle donné, elle est également intégrable sur cet intervalle.
Un nombre entier exprimé dans le système de numération décimal est pair ou impair si son dernier chiffre est pair ou impair. Suivant cela, si le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8 alors le nombre est pair ; si le dernier chiffre est 1, 3, 5, 7 ou 9 alors le nombre est impair.
Solution Il faut tout d'abord déterminer la valeur de f(−x). Si f(−x)=f(x), la fonction est paire, si f(−x)=−f(x), la fonction est impaire et si on n'obtient aucune des deux égalités précédentes, la fonction n'est ni paire ni impaire.
Si l'intégrande transforme f(x)\rightarrow f(-x)=-f(x) , c'est étrange. C’est parce que l’intégrale d’une fonction impaire est nulle.
La fonction f est paire si f(-x) = f(x) 2. La fonction f est impaire si f(-x) = -f(x) Par exemple, la fonction donnée par f ( x ) = x 2 + 1 est même parce que. f ( - x ) = ( - x ) 2 + 1 = x 2 + 1 = f ( x )
Définition : Soit une fonction réelle, localement intégrable sur un intervalle , avec ω ∈ R ou . On dit que l'intégrale ∫ a ω f ( t ) d t est absolument convergente si l'intégrale ∫ a ω | f ( t ) | d t est convergente.
On dit que l'intégrale ∫baf ∫ a b f est convergente si, pour un (ou de façon équivalente pour tout) c∈]a,b[ c ∈ ] a , b [ , la fonction x↦∫xcf(t)dt x ↦ ∫ c x f ( t ) d t admet une limite finie lorsque x tend vers b et la fonction x↦∫cxf(t)dt x ↦ ∫ x c f ( t ) d t admet une limite finie lorsque x tend vers a .
si la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, la fonction est paire. si la courbe est symétrique par rapport à l'origine, la fonction est impaire. Une fonction peut n'être ni paire, ni impaire (c'est même le cas général ! ) Seule la fonction nulle ( x ↦ 0 x\mapsto 0 x↦0) est à la fois paire et impaire.
Définitions f est une fonction paire lorsque \mathcal{D}_f est centré en 0 et, pour tout réel x de \mathcal{D}_f, f(-x)=f(x). f est une fonction impaire lorsque \mathcal{D}_f est centré en 0 et, pour tout réel x de \mathcal{D}_f, f(-x)=-f(x).
Le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des y , tandis que le graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.
Parité La fonction inverse est impaire. La représentation graphique de la fonction inverse admet l'origine du repère pour centre de symétrie.
Le cosinus hyperbolique est la partie paire de la fonction exponentielle, et le sinus hyperbolique est sa partie impaire. Ces définitions sont à rapprocher des formules d'Euler.
La fonction cube est une fonction impaire, ainsi pour tout x réel on a : f ( − x ) = − f ( x ) f(-x)=-f(x) f(−x)=−f(x).
Zéro est un nombre pair. Déterminer la parité d'un nombre entier relatif c'est dire s'il est pair ou impair. La façon la plus simple de prouver que zéro est pair c'est de vérifier qu'il correspond à la définition : en effet, c'est un entier multiple de 2.
La parité signifie que chaque sexe est représenté à égalité. C'est un instrument au service de l'égalité.
Dans les nombres de la famille 1, le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6, ou 8. Ces nombres sont donc des nombres pairs. Dans les nombres de la famille 2, le chiffre des unités est 1, 3, 5, 7, ou 9. Ces nombres sont donc des nombres impairs.
Une primitive est une fonction dont la dérivée est la fonction originale . Comme nous le verrons dans la section suivante, une intégrale est la limite d'une somme, calculant une quantité entière comme la somme de ses morceaux : ∫baf(x)dx=limN→∞N∑i=1f(x∗i) Δx.
Si f est continue partout dans l'intervalle y compris ses extrémités qui sont finies , alors f sera intégrable. Une fonction est continue en x si ses valeurs suffisamment proches de x sont aussi proches que vous le souhaitez les unes des autres et de sa valeur en x.
Utiliser « intégrale indéfinie » pour signifier « primitive » (ce qui est malheureusement courant) obscurcit le fait que l'intégration et l'anti-différenciation sont en réalité des choses différentes en général. Wolfram Mathworld dit qu'une intégrale indéfinie est "également appelée primitive" .