Si f est réglée, il existe ϕ en escalier telle que, pour tout x ∈ [a, b], |f(x) − ϕ(x)| ≤ 1, et donc |f(x)|≤|ϕ(x)| + 1, ce qui prouve que f est bornée.
Dans ce cas, on note ∫+∞af(t)dt ∫ a + ∞ f ( t ) d t ou ∫+∞af ∫ a + ∞ f cette limite. Une telle intégrale est alors appelée intégrale généralisée ou intégrale impropre. Soit f:[a,b[→K f : [ a , b [ → K continue par morceaux avec a,b∈R a , b ∈ R .
On dit que f est intégrable sur I ou que ∫If ∫ I f est absolument convergente si ∫I|f| ∫ I | f | converge. Théorème : Si f est intégrable sur I , alors ∫If(t)dt ∫ I f ( t ) d t converge. Si ∫If(t)dt ∫ I f ( t ) d t converge sans que f ne soit intégrable sur I , alors on parle d'intégrale semi-convergente.
Comment justifier l'existence d'une intégrale ? L'existence d'une intégrale peut être justifiée à l'aide de plusieurs théorèmes mathématiques tels que le théorème de convergence monotone et le théorème de convergence dominée. Ces théorèmes garantissent l'existence de l'intégrale sous certaines conditions.
Si, pour tout entier naturel n, I_{n+1}-I_{n}\geqslant 0, on en déduit que la suite est croissante. Si, pour tout entier naturel n, I_{n+1}-I_{n}\leqslant 0, on en déduit que la suite est décroissante.
Ainsi la fonction monotone définie par f : [ 0 , 1 ] → R , ∀ x ∈ [ 0 , 1 ] f ( x ) = 0 et f ( 1 ) = 1 est intégrable et son intégrale vaut de façon évidente .
Étude d'une intégrale semi-convergente
On commence par remarquer que quand x tend vers , on a : lim x → 0 sin x x = 1 . La fonction se prolonge en une fonction continue en . Il n'y a pas de problème de convergence en .
1 xα dx est convergente si et seulement si α < 1. Démonstration : C'est la même que la proposition précédente sauf qu'on regarde cette fois la limite quand a tend vers 0. Dans ce cas, a1−α convergera si et seulement si α < 1. En résumé : 1/x est toujours le cas critique et n'est jamais intégrable.
La différence entre primitive et intégrale est qu'une primitive est une fonction tandis qu'une intégrale est un réel exprimé comme une aire algébrique (pouvant être négatif).
Qu'appelle-t-on une intégrale impropre ? Si sur un certain intervalle le domaine sous la courbe de la fonction est illimité, alors l'intégrale de sur cet intervalle est dite impropre. C'est le cas si au moins l'une des bornes d'intégration est ou .
Une intégrale impropre est convergente si sa valeur est finie, dans le cas contraire elle est divergente.
pour tout x dans l'intervalle [a, b]. f(t)dt. Lorsqu'on trouve une primitive d'une fonction f dans une table, ou qu'elle se déduit des tables à partir de quelques calculs algébriques, il n'y a rien d'autre à faire : L'intégrale est donnée par la Formule de Newton-Leibniz. (e2x + sin(x))dx.
Intégrale et primitives
L'intégrale de la fonction nulle est nulle sur tout intervalle inclus dans l'ensemble des réels ; les primitives de la fonction nulle (sur ℝ) sont donc les fonctions constantes.
Si f est Riemann- intégrable sur [a, b], alors f est Lebesgue-intégrable sur [a, b], et les deux intégrales sont égales. f(x) = { 1 si x ∈ Q, 0 sinon. Cette fonction est nulle presque partout, donc elle est intégrable d'intégrale nulle au sens de Lebesgue.
f est dite intégrable sur [a, b] si et seulement si I[a,b](f) = I[a,b](f) (pincement).
Le concept d'intégrale a été raffiné depuis son introduction au XVII e siècle par Leibniz et Newton, permettant ainsi de les calculer pour des fonctions de moins en moins régulières. On rencontre ainsi aujourd'hui les intégrales dites de Riemann, de Lebesgue ou de Kurzweil-Henstock.
Pour déterminer une primitive d'une fonction rationnelle, on décompose celle-ci en une somme d'une fonction polynôme et d'une fonction inverse. Exemple : Soit f\left ( x \right )=\frac{x^{2}+2}{x-3} définie sur ]3\, ;+\infty[. Elle peut s'écrire sous la forme : f\left ( x \right )=ax+b+\frac{c}{x-3}.
1) Si F est une primitive de f il en est de même de F + k o`u k est une fonction constante. 2) Si F et G sont deux primitives de f sur un intervalle I, la différence F −G est une constante. Soit c ∈ I et k ∈ R. Si f admet une primitive F, il existe une unique primitive G de f qui vérifie G(c) = k.
Pour étudier une intégrale généralisée ∫If ∫ I f , Étape 1 : on étudie la continuité (par morceaux) de f sur I . Il faut vérifier notamment qu'il n'y a pas de problèmes à l'intérieur de ]a,b[ . D'autre part, il est possible que f se prolonge par continuité en a (ou en b ).
2/ Théorèmes de convergence
* Si (un) est croissante et majorée alors (un) converge. La suite « monte » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie. * Si (un) est décroissante et minorée alors (un) converge. La suite « descend » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie.
On obtient alors : I ( x ) = ∫ 0 arctan ( x ) u d u = [ u 2 2 ] 0 arctan ( x ) = 1 2 ( arctan . Quand tend vers , on a donc : lim x → + ∞ I ( x ) = π 2 8 . D'où : ∫ 0 + ∞ arctan ( t ) 1 + t 2 d t = π 2 8 .
Pour déterminer l'intégrale indéfinie des fonctions impliquant différentes puissances de 𝑥 , y compris les fonctions polynômes, inverses et radicales, on utilise les propriétés suivantes : La propriété de linéarité de l'intégration : ( 𝑎 𝑓 ( 𝑥 ) + 𝑏 𝑔 ( 𝑥 ) ) 𝑥 = 𝑎 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 + 𝑏 𝑔 ( 𝑥 ) 𝑥 , d d d pour 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ .
Définition : Soit f une fonction bornée sur [a,b] . Alors f est Riemann intégrable si et seulement l'une des conditions équivalentes suivante est vérifiée : S−(f)=supσS−(f,σ) S − ( f ) = sup σ S − ( f , σ ) et S+(f)=infσS+(f,σ) S + ( f ) = inf σ S + ( f , σ ) sont égales.
Critères d'intégrabilité
Une fonction réglée est intégrable sur un intervalle fermé. En particulier on en déduit que les fonctions continues, continues par morceaux, monotones ou encore à variations bornées sont toutes intégrables sur un intervalle fermé.
est Riemann-intégrable si et seulement si l'ensemble de ses points de discontinuité a une mesure de Lebesgue nulle. L'ensemble des discontinuités peut être de mesure nulle sans être fini ou dénombrable, comme pour la fonction caractéristique de l'ensemble de Cantor, qui n'est donc pas réglée.