Pour montrer qu'une droite (d) est orthogonale à un plan (P), il suffit de montrer qu'un vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P). Et réciproquement : Si (d) est orthogonale à (P) alors : tout vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P).
Si les plans sont sécants, alors leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. De plus si →n1⋅→n2=0 alors les plans sont perpendiculaires. La réciproque est vraie: Si les plans sont perpendiculaires, alors leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
On rappelle qu'un vecteur \overrightarrow{n} est normal à un plan si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Le vecteur \overrightarrow{n} est normal au plan \left(ABC\right) si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, u ⋅v =0.
Deux vecteurs sont orthogonaux, si et seulement si, leur produit scalaire est égal à . En effet : u → ⊥ v → si, et seulement si, ( u → , v → ) = ± π 2 si, et seulement si, ( u → , v → ) = 0 si, et seulement si, u → ⋅ v → = 0 .
Définition 10 Soit
sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.
à partir d'une équation cartésienne du plan. Si le plan a pour équation cartésienne ax+by+cz=d, alors un vecteur normal du plan est le vecteur de coordonnées (a,b,c).
Si A•B = 0 alors ils sont orthogonaux . Si 0 < A•B < |A| |B| alors ils ne le sont ni l’un ni l’autre. Deux vecteurs sont parallèles (antiparallèles) si l’un est un multiple positif (négatif) de l’autre.
Déterminant de deux vecteurs
Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul.
Définition : Un vecteur non nul de l'espace est normal à un plan P lorsqu'il est orthogonal à tout vecteur admettant un représentant dans P. Théorème : Un vecteur non nul de l'espace est normal à un plan P s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P.
Pour que deux vecteurs soient orthogonaux, leur produit scalaire doit être nul. Afin de trouver la solution, il suffit de trouver lequel de ces vecteurs ne donne pas un produit scalaire nul lorsqu'il est multiplié avec ( 2 ; − 3 ; 5 ) .
Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires. Si une droite (d) est orthogonale à deux droites sécantes du plan P, alors elle est orthogonale au plan P.
est normal à une droite (d) si leur directions sont perpendiculaires (le vecteur et la doite forment un angle de 90°).
Définition : Vecteurs perpendiculaires
Deux vecteurs ⃑ 𝑢 = ( 𝑥 , 𝑦 ) et ⃑ 𝑣 = ( 𝑥 , 𝑦 ) sont perpendiculaires si ⃑ 𝑢 ⋅ ⃑ 𝑣 = 0 .
Pour déterminer une équation cartésienne d'un plan passant par A et de vecteur normal \vec{n}, on peut : donner la forme générale de l'équation : ax + by + cz + d = 0 ; remplacer les coefficients a, b, c par les coordonnées du vecteur \vec{n} ; déterminer ensuite la valeur de d à l'aide des coordonnées du point A.
Pour savoir si la droite (MN) est incluse dans le plan (ABC): On regarde si le point M appartient au plan (ABC) en appliquant la méthode "A appartient à un plan". Puis on refait pareil avec le point N. Si les 2 points M et N appartiennent au plan (ABC), alors la droite (MN) est incluse dans le plan (ABC).
Si les coordonnées ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires. Le vecteur nul →0 est colinéaire à tout vecteur. Car quel que soit un vecteur →u, on peut toujours écrire: →0=0⋅→u. 3 points A, B, C sont alignés ⇔ →AB et →AC sont colinéaires.
Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction, ou s'ils sont parallèles ou antiparallèles l'un à l'autre dans l'espace . Deux vecteurs sont parallèles s’ils pointent tous les deux dans la même direction ou s’ils pointent tous les deux exactement dans la même direction opposée.
Deux vecteurs sont colinéaires s'ils sont parallèles à la même ligne quelles que soient leurs amplitudes et leur direction .
Le vecteur est un vecteur directeur de la droite d'équation ax + by + c = 0. Soient (d) la droite de vecteur directeur et (d') la droite de vecteur directeur . Les droites (d) et (d') sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de est nul.
Two vectors a and b are called parallel if the angle they form from the vertical axis or the horizontal axis (not necessarily together) is the same or equal. Another way to say it is: Two vectors a and b are called parallel if and only if the angle they form between them is zero degrees or 0°.
Si nous savons qu'ils sont orthogonaux, alors par définition ils ne peuvent pas être parallèles , nous avons donc terminé nos tests. Nous allons d’abord mettre les vecteurs sous forme standard. Nous allons maintenant prendre le produit scalaire de nos vecteurs pour voir s’ils sont orthogonaux les uns par rapport aux autres.
Definition. - par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. Les vecteurs et sont dits orthogonaux si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
Cela signifie que le vecteur A est orthogonal au plan, ce qui signifie que A est orthogonal à chaque vecteur directeur du plan. Un vecteur non nul orthogonal aux vecteurs directeurs du plan est appelé vecteur normal au plan . Ainsi le vecteur coefficient A est un vecteur normal au plan.
L'équation cartésienne d'un plan est du type ax + by + cz + d = 0 avec (a ;b ;c) les coordonnées d'un vecteur normal du plan . On procède en deux étapes : D'abord déterminer un vecteur normal au plan Ensuite déterminer d . une valeur pour cette variable et on en déduit les deux autres .