Si l'on veut définir une fonction sur un intervalle et obtenir sa courbe il faut saisir : Fonction[expression en fonction de x, borne inf, borne sup]. Par exemple : si on tape dans la ligne de saisie la séquence Fonction[x²,- 4,3], on obtient le tracé de la parabole sur l'intervalle [-4 ;3].
Définition : Notation d'intervalles
Ainsi, en notation d'intervalles, cela est exprimé comme suit : ( 𝑎 , 𝑏 ) = ] 𝑎 , 𝑏 [ = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 } , [ 𝑎 , 𝑏 ) = [ 𝑎 , 𝑏 [ = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑎 ⩽ 𝑥 < 𝑏 } , ( 𝑎 , 𝑏 ] = ] 𝑎 , 𝑏 ] = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑎 < 𝑥 ⩽ 𝑏 } , [ 𝑎 , 𝑏 ] = [ 𝑎 , 𝑏 ] = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑎 ⩽ 𝑥 ⩽ 𝑏 } .
Une fonction est croissante sur un intervalle I, si, en parcourant la courbe de gauche à droite, les images en ordonnées augmentent. Une fonction est décroissante sur un intervalle I, si, en parcourant la courbe de gauche à droite, les images en ordonnées diminuent.
Définition : Définir une fonction f sur un intervalle [a ; b], c'est donner un procédé qui, à tout nombre x de l'intervalle [a ; b], associe un et un seul nombre réel noté f(x). f( ) a b x x → » où « )(fx x » se lit « à x, associe f de x ». Définitions : Soit f une fonction définie sur l'intervalle [a ; b].
On écrit que x appartient à l'intervalle si a ≤ x ≤ b. Graphiquement, un intervalle fermé est illustré par un segment dont les deux extrémités sont remplies. Pour écrire cet intervalle en notation d'intervalle, on doit utiliser des crochets : [a,b].
On peut parfois simplifier l'écriture. Pour cela, on peut utiliser la droite numérique. (voir cet exercice). Pour résoudre une équation |x+a|=r | x + a | = r , on commence par l'écrire sous la forme |x−b|=r | x − b | = r , en écrivant éventuellement x+a=x−(−a) x + a = x − ( − a ) .
On appelle intervalle l'ensemble des nombres réels compris entre deux réels positifs ou réels négatifs a et b, ou de la même façon l'ensemble des points de la droite dont la marque est entre a et b. Prenons pour exemple l'intervalle [4 ; 6]. Il désigne l'ensemble des réels x tels que 4 ≤ x et x ≤ 6.
Pour trouver le maximum d'une fonction sur un intervalle , il faut : déterminer la dérivée de la fonction, ; résoudre l'équation f ′ ( x ) = 0 ; vérifier qu'il s'agit d'un maximum en testant d'autres valeurs de la fonction, ou en utilisant la dérivée seconde.
Résumés. Nous étudions plusieurs démonstrations de la caractérisation suivante des fonctions constantes : une fonction, définie sur un intervalle, dérivable est constante si, et seulement si, sa dérivée est nulle.
Si l'on veut définir une fonction sur un intervalle et obtenir sa courbe il faut saisir : Fonction[expression en fonction de x, borne inf, borne sup]. Par exemple : si on tape dans la ligne de saisie la séquence Fonction[x²,- 4,3], on obtient le tracé de la parabole sur l'intervalle [-4 ;3].
Identifier les axes, si on veut Y en fonction de X alors la grandeur X est placé en abscisse et Y en ordonnée. Graduer les axes tous les centimètres en fonction de l'échelle choisie. Indiquer Grandeurs et Unités sur chaque axe. Placer les points expérimentaux sur le graphique, les représenter par un 'plus' « + ».
Pour déterminer si cette représentation graphique correspond à une fonction, on ajoute une droite verticale sur le graphique et on vérifie le nombre de points d'intersection avec la courbe représentative. S'il y a plus d'un point d'intersection, la représentation graphique ne correspond pas à une fonction.
Soit f:I→R f : I → R une fonction définie sur un intervalle I et soit a∈I a ∈ I . On dit que f admet un maximum en a si, pour tout x∈I x ∈ I , f(x)≤f(a) f ( x ) ≤ f ( a ) . On dit que f admet un minimum en a si, pour tout x∈I x ∈ I , f(x)≥f(a) f ( x ) ≥ f ( a ) .
Pour une fonction f dérivable sur un intervalle I, on a les théorèmes suivants : si f ' est positive sur I la fonction est croissante sur I. si f ' est négative sur I la fonction est décroissante sur I.
Amplitude d'une classe (ou d'un intervalle) :
C'est la longueur de l'intervalle. L'amplitude de la classe[ei ei+1 [ est ei+1 - ei .
Lorsqu'on se promène sur la courbe en allant de la gauche vers la droite : Sur l'intervalle [0 ; 2,5], on monte, on dit que la fonction est croissante. Sur l'intervalle [2,5 ; 5], on descend, on dit que la fonction est décroissante.
Si les valeurs de 𝑓 ( 𝑥 ) tendent vers une valeur finie 𝐿 lorsque les valeurs de 𝑥 tendent vers l'infini, alors on dit que la limite de 𝑓 ( 𝑥 ) à l'infini existe et est égale à 𝐿 et nous notons cela par l i m → ∞ 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝐿 .
Définition 1 Une partie U ⊂ R est dite ouverte si pour tout x ∈ U, il existe ϵ > 0 tel que ]x − ϵ, x + ϵ[⊂ U. Une partie F ⊂ R est dite fermée si son complémentaire U = R \ F est ouvert. Exemple 2 Un intervalle ouvert, comme ]a, b[, ]a, +∞[, ] − ∞,b[, ] − ∞, +∞[, est ouvert.
Pour déterminer l'intersection de deux intervalles, on représente ces deux intervalles sur le même axe gradué et on repère les points du premier intervalle plus tous les points du second intervalle.
Pour comparer deux fonctions définies par f(x) et g(x): - on calcule f(x) - g(x), en simplifiant autant que possible l'expression. - on réalise le tableau de signes du résultat (revoir les signes des fonctions affines et des trinômes !).
Si ƒ est continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], alors pour tout nombre k compris entre ƒ(a) et ƒ(b), alors l'équation ƒ(x) = k admet une unique solution dans [a ; b]. Pour localiser cette solution, on pourra utiliser sa calculatrice.
En utilisant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (c'est-à-dire le théorème appliqué au cas des fonctions strictement monotones), on peut montrer qu'une équation admet une unique solution sur un intervalle. Montrer que l'équation x^3-2x+1=0 admet une unique solution sur \left]-\infty ; -1 \right].
Une fonction définie par une liste de valeurs numériques peut être représentée par un nuage de points, une courbe polygonale ou un diagramme en barres.