Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut. Au contraire, une fonction concave possède une dérivée première décroissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le bas.
La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f ''(x) ≥ 0 pour tout x de I. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit f ''(x) ≤ 0 pour tout x de I.
On démontre qu'une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est croissante sur cet intervalle, autrement dit si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.
Réciter le cours. On rappelle que : Une fonction f est convexe sur un intervalle I lorsque sa courbe représentative se situe intégralement au-dessus de ses tangentes sur I. Une fonction f est concave sur un intervalle I lorsque sa courbe représentative se situe intégralement en dessous de ses tangentes sur I.
Un objet géométrique est dit convexe lorsque, chaque fois qu'on y prend deux points A et B, le segment [A, B] qui les joint y est entièrement contenu. Ainsi un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet creux ou bosselé ne l'est pas.
Astuce pour distinguer la concavité
Un moyen très simple de comprendre la différence entre concave et convexe est de prendre une cuillère à soupe. Le côté qui sert de récipient est concave. Si l'on regarde son propre reflet dedans, on paraît plus gros. Le côté qui ne sert pas de récipient est convexe.
Adjectif. Qui présente une surface en creux. Surface, ligne courbe, polygone concave.
Un polygone est convexe si tout segment qui relie deux points intérieurs se trouve entièrement dans ce polygone. Dans un polygone concave, au moins un segment joignant deux de ses points se trouve, en tout ou en partie, à l'extérieur de sa surface.
1. Qui présente une courbure sphérique en relief ; qui est arrondi en dehors : Miroirs convexes. 2. Se dit d'un ensemble ponctuel E (différent d'une courbe) tel que tout segment ayant ses extrémités dans E est entièrement inclus dans E.
Un polygone est convexe si tous ses angles intérieurs ont une mesure inférieure à 180∘.
Les polygones convexes ont des angles internes de moins de 180 degrés et des sommets tournés vers l'extérieur. Les polygones non-convexes ont au moins un angle interne de plus de 180 degrés et des sommets tournés vers l'intérieur.
Une fonction f:I→R f : I → R , où I est un intervalle, est convexe si, pour tous x et y de I , pour tout t de [0,1] : f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y).
Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut. Au contraire, une fonction concave possède une dérivée première décroissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le bas.
Un sous-ensemble C d'un espace vectoriel réel E est dit convexe si, pour tout couple de points quelconques de C, le segment qui a pour extrémités ces deux points est entièrement contenu dans C.
On peut donc utiliser la dérivée seconde pour étudier la convexité : Si 𝑓 ′ ′ ( 𝑥 ) > 0 pour toutes les valeurs de 𝑥 dans un intervalle ( 𝐼 ) , alors sa représentation graphique est convexe sur cet intervalle.
Qui présente une courbe en bosse. Ligne courbe convexe. — Un cercle, une ellipse sont convexes.
La ligne convexe se courbe vers l'extérieur, et son milieu est plus épais que ses bords. Si une forme convexe est courbée vers l'extérieur, une forme concave est courbée vers l'intérieur.
Ainsi d'un objet virtuel, situé au-delà du centre de courbure, le miroir convexe donne une image virtuelle, renversée et réduite, située entre le centre de courbure et le foyer.
En géométrie euclidienne, un carré est un quadrilatère convexe à quatre côtés de même longueur avec quatre angles droits.
On peut facilement distinguer les polygones convexes des polygones concaves. Pour les polygones convexes, toutes les diagonales sont à l'intérieur du polygone, alors que pour les polygones concaves, au moins une des diagonales se situe à l'extérieur du polygone.
Un polyèdre est dit convexe si tout point de tout segment joignant deux points quelconques du polyèdre appartient au polyèdre. Autrement dit, un polyèdre est convexe si toutes ses diagonales sont entièrement contenues dans son intérieur.
En géométrie, c'est un polygone avec au moins un angle intérieur supérieur à 180 °. Un polygone (qui a des côtés droits) est concave lorsqu'il contient des creux ou des indentations (où l'angle interne est supérieur à 180 °).
Définition de concave adjectif
Qui présente une surface courbe en creux (s'oppose à convexe). Surface, miroir concave.