Une partie F de E est appelée un sous-espace vectoriel si : • 0E ∈ F, • u + v ∈ F pour tous u, v ∈ F, • λ · u ∈ F pour tout λ ∈ et tout u ∈ F. Remarque. Expliquons chaque condition. La première condition signifie que le vecteur nul de E doit aussi être dans F.
Pour démontrer que F est un sous-espace vectoriel de E , on applique la caractérisation des sous-espaces vectoriels, c'est-à-dire qu'on vérifie que 0E∈F 0 E ∈ F et que, pour tout couple (x,y)∈F2 ( x , y ) ∈ F 2 et tout scalaire λ∈K λ ∈ K , on a {x+y∈Fλx∈F.
Une partie F de E est un sous-espace vectoriel de E si elle est elle-même un espace vectoriel. Il existe une caractérisation pratique de cela : F est un sous-espace vectoriel de E si : F n'est pas vide. Pour tous x et y de F , alors x+y est dans F .
Il suffit donc de montrer que {x1 + x2 ; x1 ∈ E1,x2 ∈ E2} est un espace vectoriel, ce qui est clair. On définit de même par récurrence (et associativité de la loi additive sur E) la somme de n espaces vectoriels. On note alors E = E1 ⊕ E2.
On dit qu'une partie F d'un espace vectoriel E est un sous espace vectoriel de E si c'est une partie de E non- vide et stable par combinaisons linéaires, c'est à dire que si u et v sont dans F alors a*u+b*v doit aussi être dans F quels que soient les réels a et b.
Pour montrer qu'une partie F de E n'est pas un sous-espace vectoriel de E on peut : • Montrer que 0E n'appartient pas à F • Trouver λ ∈ K et u ∈ F tel que λu n'appartient pas à F. Trouver u et v dans F tel que u + v n'appartient pas à F.
Le vecteur u = (x, y, z, t) appartient `a F si et seulement si Vect(v1,v2,u) = Vect(v1,v2). Appliquons la méthode précédente aux vecteurs v1,v2,u. Le vecteur u appartient `a Vect(v1,v2) si et seulement si la derni`ere colonne est nulle, autrement dit si z − y − x = 0 et t + 2y − 3x = 0.
Si , et sont trois vecteurs non coplanaires, alors ils constituent une base de l'espace. On note cette base . Soit une base de l'espace, alors, pour tout vecteur de l'espace, il existe un unique triplet (x ; y ; z) de réels tels que . Dans ce cas, on dit que l'on a décomposé en fonction de , et .
Donc (Q,|. |) est un espace vectoriel normé de dimension finie.
Bonne définition La dimension du sous-espace vectoriel des solutions d'un syst`eme d'équations homog`enes est donnée par la formule : Dimension (du sev des solutions) = nombre d'inconnues -rang du syst`eme d'équations.
Une partie F d'une algèbre E est une sous-algèbre de E si, munie des lois + , × , ⋅ héritées de E , c'est une algèbre. Si E et F sont deux algèbres, une application f:E→F f : E → F est un morphisme d'algèbre si c'est un morphisme d'anneaux et une application linéaire.
Un espace affine peut être vu comme un espace vectoriel dont on a oublié l'origine. Pour A∈E A ∈ E , ⃗u∈E u → ∈ E et B=A+⃗u B = A + u → , on note ⃗u=−−→AB u → = A B → . Le point A étant fixé, l'application θA:E→E, B↦−−→AB θ A : E → E , B ↦ A B → est une bijection.
Voir le paragraphe 6 (construction d'une base de E ⊕ F). Remarque. Pour montrer que les sous-espaces vectoriels F et G sont supplémentaires, il suffit de montrer que F ∩ G = {0} et dimF + dimG = dimE.
Définition. Vect(A) est appelé le sous-espace engendré par A. Soit F un sous-espace vectoriel. Si Vect(A) = F on dit que A est une partie génératrice (ou une famille génératrice) de F ou que A engendre F.
Deux vecteurs u et v sont colinéaires si il existe λ un réel tel que u =λv . Les coordonnées de deux vecteurs colinéaires sont proportionnelles. u (−3 ;9) et v (1 ;−3) sont colinéaires car u =−3v .
Définition 4 Une famille F = { v1,..., vn} d'un espace vectoriel V sur un corps K est dite base de V lorsqu'elle est libre et génératrice. Par exemple la famille {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 2, 4)} est une base de R3.
Pour savoir si →u, →v et →w sont coplanaires:
Pour celà, on cherche 2 nombres a et b tels que →w=a→u+b→v. Si on peut trouver a et b alors →u, →v et →w sont coplanaires. Sinon →u, →v et →w ne sont pas coplanaires. Les points A, B, C, D sont-ils coplanaires?
L'espace vectoriel R 3 a pour dimension 3 . La partie { u , v , w } contient exactement trois vecteurs, aussi, pour démontrer que ( u , v , w ) est une base de R 3 , il suffit de démontrer que la partie { u , v , w } est une partie libre ou bien que la partie { u , v , w } est une partie génératrice de R 3 .
(Somme de deux sev dont on a des familles génératrices) (Voir la preuve) Soit F et G deux sous-espaces vectoriels de E et F1 une famille génératrice de F et F2 une famille génératrice de G (et donc F = Vect(F1) et G = Vect(F2)). Alors F + G = Vect(F1 ∪ F2).
Pour montrer que la famille {v1,v2,v3} est une base nous allons montrer que cette famille est libre et génératrice. Ainsi les coefficients vérifient a = b = c = 0, cela prouve que la famille est libre.
On dit qu'un sous-espace vectoriel de est stable par si l'image de tout élément de appartient à : f ( F ) =⊂ F . Dans ce cas, l'application de dans qui à associe est un endomorphisme de , notée et nommée restriction de à .
Tout sous-espace d'un espace de dimension finie admet un supplémentaire. Formule de Grassmann : Soit E un espace vectoriel de dimension finie et soient F,G deux sous-espaces vectoriels de E . Alors dim(F+G)=dim(F)+dim(G)−dim(F∩G).
Une partie F de E est appelée un sous-espace vectoriel si : • 0E ∈ F, • u + v ∈ F pour tous u, v ∈ F, • λ · u ∈ F pour tout λ ∈ et tout u ∈ F. Remarque. Expliquons chaque condition. La première condition signifie que le vecteur nul de E doit aussi être dans F.
Une fonction f définie sur un intervalle I de R qui contient a et à valeurs dans R est dite continue en a si elle admet une limite en a : ∀ε>0, ∃δ>0, ∀x∈I, |x−a|<δ⟹|f(x)−f(a)|<ε.
Sur un corps K, un espace vectoriel E est dit de dimension finie s'il admet une base finie. Il suffit pour cela qu'il admette une famille génératrice finie. Les espaces de dimension finie jouissent de propriétés qui leur sont propres. Les bases duales en sont des exemples.