Définition : On appelle vecteur propre de tout vecteur , non nul de , vérifiant : f ( x ) = λ x . (Les vecteurs propres sont donc les vecteurs dont la direction est inchangée par l'application ).
si Ax = λx pour un certain réel λ. (autre que 0) à l'équation x of Ax = λx. Une telle solution est alors appelée vecteur propre associé à la valeur propre λ.
le vecteur x de E non nul est dit vecteur propre de u si et seulement s'il existe un élément λ de K tel que u(x) = λx ; le scalaire λ élément de K est dit valeur propre de u si et seulement s'il existe un vecteur x non nul de E tel que u(x) = λx ; soit λ une valeur propre de u.
0 est valeur propre de f si et seulement s'il existe x non nul tel que f(x)=0. x=0, c'est-à-dire si et seulement si le noyau de f n'est pas réduit à {0}, ce qui équivaut à la non injectivité de f et donc à sa non bijectivité (puisque nous sommes en dimension finie).
C'est très facile: prenez simplement n'importe quel vecteur, calculez sa longueur et divisez chaque composante du vecteur par sa longueur. Ce nouveau vecteur obtenu aura une longueur 1. Cette technique est appelée normalisation.
Ax = λx. Le vecteur x s'appelle un vecteur propre [eigenvector] de A associé `a la valeur propre λ. Définition 7.2 Soit V un K-espace vectoriel et F ∈ L(V,V). Un scalaire λ ∈ K s'appelle une valeur propre de F s'il existe un vecteur v ∈ V, v = 0, tel que f(v) = λv.
La norme d'un vecteur correspond à sa longueur, c'est-à-dire à la distance qui sépare les deux points qui définissent le vecteur.
Si il existe un scalaire λ ∈ R (resp. C )et un vecteur non nul v ∈ E tels que ϕ(v) = λv, on dit que λ est une valeur propre de u. Si λ est une valeur propre et un vecteur propre de ϕ, associé λ est un vecteur v tel que ϕ(v) = λv.
En fait, la seule exception est le nombre zéro lui-même. Lorsqu'un nombre non nul est élevé à la puissance zéro, le résultat est toujours égal à un. Cette règle découle des propriétés fondamentales de l'exponentiation. Lorsque nous multiplions des nombres ayant la même base, nous additionnons leurs exposants.
D'abord on trouve les valeurs propres en résolvant le polynôme caractéristique et ensuite on peut trouver les vecteurs propres qui y sont associés. Le polynôme caractéristique s'obtient en calculant le déterminant de la matrice A−λI. Par définition, un vecteur propre ne doit pas être égal au vecteur nul.
Pour calculer la norme d'un vecteur, il faut utiliser la formule ‖ v → ‖ = v x 2 + v y 2 . Pour calculer les coordonnées d'un vecteur, nous utilisons la formule A B → = ( x B − x A y B − y A ) . Pour maîtriser le calcul vectoriel, il convient de faire de nombreux exercices.
Pour déterminer si un vecteur est normal à une droite (AB), on doit rechercher si et sont orthogonaux, c'est à dire si . Soit A(0 ;2) et B(1 ; 4) et . Le vecteur est-il normal à la droite (AB) ? normal à la droite (AB) signifie que et sont orthogonaux, c'est à dire que l'on a : .
Autrement dit, une famille est libre lorsque la seule combili de ses vecteurs qui donne le vecteur 0 est celle dont tous les coefficients sont nuls.
Pour calculer le déterminant d'une matrice 3 × 3 , nous pouvons utiliser la méthode de développement par les cofacteurs en choisissant une ligne ou une colonne spécifique de la matrice, en calculant les mineurs pour chaque élément de celle-ci et en alternant les signes en fonction des cofacteurs.
La diagonalisation de matrices sert surtout en physique (via le théorème spectral) pour déterminer certaines caractèristiques invariantes de systèmes. (Comme en mathématique on détermine les vecteurs invariants à un facteur près sous une une application linéaire, appelés vecteurs propres).
1. Une matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à l'ordre de la matrice. 2. Si une matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres différentes, alors A est diagonalisable.
Si jamais il y a une valeur propre λ pour laquelle dim(Eλ)<mult(λ), ( E λ ) < mult ( λ ) , alors A n'est pas diagonalisable (voir cet exercice).
La matrice diagonale est donc formée des valeurs propres . La diagonalisation d'une matrice est utilisée dans la recherche de puissance de matrices à un ordre n ∈ N ∗ . En effet, de D = P − 1 A P en prémultipliant par et en postmultipliant par , nous avons : P D P − 1 = P P − 1 A P P − 1 = A ⇒ A = P D P − 1 .
Les valeurs propre d'une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique. Définition. On appelle la trace de A la somme des éléments sur la diagonale. Définition.
Soit A une matrice symétrique réelle, λ une valeur propre (a priori complexe), et X un vecteur propre (à priori complexe). Alors AX=λX, donc t¯XAX=λt¯XX. On transpose et on conjugue. On obtient alors (en utilisant le fait que A soit symétrique et réelle) : t¯XAX=¯λt¯XX.
Une matrice A (n × n) est symétrique si AT = A, c'est-à-dire si aji = aij ∀i, j = 1,2,...,n. Donc une matrice symétrique a ses coefficients symétriques par rapport à la diagonale. Exemple 14.2.
x(AB*)=x(B)-x(A) c'est à dire l'abscisse du point B moins l'abscisse du point A. y(AB*)=y(B)-y(A) c'est à dire l'ordonnée du point B moins l'ordonnée du point A. Remarque : Les coordonnées du vecteur AB* représentent le chemin horizontal et vertical qui permet d'aller du point A au point B.
Soient u et v , deux vecteurs de coordonnées respectives (xy) et (x′y′). Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul. Le déterminant de u (−3 ;9) et v (1 ;−3) est det(u ;v )=(−3)×(−3)−9×1=0.
Pour calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs, on additionne les coordonnées de chacun des vecteurs. Pour calculer les coordonnées de la différence de deux vecteurs, on soustrait les coordonnées de chacun des vecteurs.