Soient u et v , deux vecteurs de coordonnées respectives (xy) et (x′y′). Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul.
Exemples : a) ( 2 ; – 3 ) et ( 10 ; – 15 ) sont colinéaires en effet 10 = 2 x 5 et –15 = –3 x 5 donc = 5 . c) (4 ; 5 ) et (8 ; –10 ) ne sont pas colinéaires en effet : ≠ 0 et ≠ 0 et s'il existe tel que = , alors 8 = x 4 donc = 2 et -10 = x 5 donc = -2 .
Deux vecteurs ⃗ u (x;y) et ⃗ v (x′;y′) sont colinéaires si et seulement si : Méthode 1 : x × y ′ − x ′ × y = 0 x\times y' - x'\times y=0 x×y′−x′×y=0. Méthode 2 : il existe une réel k tel que : x ′ = k x x'=kx x′=kx et y ′ = k y y'=ky y′=ky.
Propriété : Les droites d'équation ax + by + c = 0 et a'x + b' y + c' = 0 sont parallèles si et seulement si ab'− a'b = 0. ( )= 0 soit encore : ab'− a'b = 0 . Définition : On appelle base du plan tout couple de deux vecteurs non colinéaires.
Si deux droites forment avec une sécante des angles correspondants égaux, alors ces droites sont parallèles. Si deux droites forment avec une sécante des angles alternes-internes égaux, alors ces deux droites sont parallèles.
Pour déterminer si trois points sont alignés, il existe plusieurs méthodes. Les points A, B et C sont alignés ⇔ (AB) et (AC) ont le même cœfficient directeur . A(3 ; 7), B(0 ; –2) et C(1 ; 1) sont-ils alignés ? Les deux cœfficients directeurs sont égaux à 3, donc A, B et C sont alignés.
Les vecteurs ⃗ u et ⃗ v sont colinéaires si et seulement si l'un est le produit de l'autre par un réel, c'est-à-dire s'il existe un réel k tel que ⃗ ⃗ v =ku . Le réel k est le coefficient de colinéarité. Ainsi, deux vecteurs non nuls sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction.
Pour prouver que les points A, B et C ne sont pas alignés, il suffit de montrer, par exemple, que les vecteurs et ne sont pas colinéaires. Une droite du plan peut être définie par la donnée de deux points distincts ou par la donnée d'un point et d'une direction.
Le déterminant est l'une des techniques qui permet de savoir si deux vecteurs sont colinéaires. S'ils se sont, le déterminant est nul. Et réciproquement, si le déterminant est nul les vecteurs sont colinéaires.
Lorsque deux points A et B sont confondus, on dit que le vecteur A B → \overrightarrow{AB} AB est un vecteur nul et on note 0 ce vecteur. Le vecteur nul a une longueur égale à 0, mais n'a ni direction, ni sens.
Définition 1.
Deux droites ont la même direction si et seulement si elles sont parallèles ou confondues. On dit que deux vecteurs et sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction. Par conséquent, deux droites qui n'ont pas la même direction sont sécantes.
Ces quatre champs sont : les caractéristiques individuelles; • les milieux de vie; • les systèmes; • le contexte global.
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? On peut dire que ABCD est un parallélogramme car ses diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu I. De plus, ABCD est un rectangle car il a un angle droit en B.
Si les points A, B et C appartiennent à la même droite, on peut en conclure qu'ils sont alignés. Les points A, B et C appartiennent à la même droite ; ils sont donc alignés.
Trois vecteurs non nuls ⃗ ⃗ u ,v et ⃗ w sont coplanaires si et seulement leurs représentants de même origine A ont des extrémités B , C B, C B,C et D telles que A , B , C A, B, C A,B,C et D appartiennent à un même plan.
Les droites (d) et (d') sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de est nul. Les droites (d) et (d') sont sécantes si et seulement si et ne sont pas colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de n'est pas nul.
Vecteurs colinéaires
= k . Deux vecteurs sont colinéaire s'ils ont la même direction, le même sens, et s'ils sont proportionnels.
Dire que deux vecteurs ⃗u et ⃗v sont colinéaires équivaut à dire que, dans tout repère du plan, leurs coordonnées sont proportionnelles. Soient ⃗u (x;y) et ⃗v (x'; y') deux vecteurs colinéaires . Donc, il existe un réel k tel que ⃗v=k ⃗u . Donc : x' = k x et y' = k y.
La notation d'une droite est généralement écrite à l'aide de deux points appartenant à cette droite. Trois points ou plus qui appartiennent à la même droite sont appelés points alignés. Si un point n'appartient pas à la même droite que les autres points, on dit que cet ensemble de points est non aligné.
L'alignement est la détermination par l'autorité administrative de la limite du domaine public routier au droit des propriétés riveraines. Il est fixé, soit par un plan d'alignement, soit par un arrêté d'alignement individuel (Code de la voirie routière, art. L 112-1).
Points clés
Le vecteur défini par deux points 𝐴 et 𝐵 , noté 𝐴 𝐵 , peut être calculé en soustrayant le vecteur ⃑ 𝐴 au vecteur ⃑ 𝐵 tel que 𝐴 𝐵 = 𝑂 𝐵 − 𝑂 𝐴 .
Un déterminant est un mot souvent très court qui introduit un nom dans la phrase. Il fait partie du groupe nominal minimal. Ce pommier donne des fruits délicieux. Il nous renseigne le plus souvent sur le genre (ce pommier, cette pomme) et le nombre (un fruit, des fruits) du nom.
Déterminants possessifs : mon, ma, mes.
Les déterminants possessifs (anciennement : adjectifs possessifs) : On les utilise pour montrer qu'un objet, une chose nous appartient. Il en existe une liste assez grande : mon ; ma ; mes ; ton ; ta ; tes ; son ; sa ; ses ; notre ; nos ; votre ; vos , leur ; leurs.