« Un nombre décimal est un nombre qui a un nombre fini de chiffres après la virgule ». En tant que définition, elle comporte un « si et seulement si » implicite. Une définition caractérise l'objet qu'elle définit. Conséquence : si un nombre a une infinité de chiffres après la virgule, alors il n'est pas décimal…
Nombre décimal :
1 , 6 1,6 1,6 ; 2 , 978 2,978 2,978 ; 24 , 19 24,19 24,19 et 102 , 4 102,4 102,4 sont des nombres décimaux car ils ont un nombre fini de chiffres après la virgule.
Un nombre rationnel peut s'écrire comme le quotient de deux nombres entiers. Cas n°1 : Si la division s'arrête, alors le nombre est un nombre décimal. On peut alors l'écrire en écriture décimale.
Les chiffres après la virgule
Un nombre décimal est un nombre réel qui peut s'écrire exactement avec un nombre fini après la virgule.
Définition : Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est égal à 10, 100, 1 000, 10 000… Quand on additionne un nombre entier et des fractions décimales, on obtient un nombre décimal. Exemple : unités + dixièmes + centièmes + dix-millièmes ou 5 + 4 10 + 7 100 + 8 10 000 est un nombre décimal.
Par exemple 1/2, 12,45 et 0,415464 sont des nombres décimaux. Par contre, le nombre 1/3 = 0,3333333... n'est pas décimal, puisque qu'il a une infinité de 3 après la virgule.
Si le dénominateur, après simplification, d'une fraction est, par exemple 2 ( 2 x 5 = 10 ), 4 ( 4 x 25 = 100 ) , 5 ( 5 x 2 = 10 ) , 8 ( 8 x 125 = 1000 ) ,… 20 ( 20 x 5= 100 ) , … alors la fraction est une fraction décimale et admet une écriture décimale.
Une fraction d'entiers irréductible décrit un nombre décimal si et seulement si son dénominateur est un produit d'une puissance de 2 et d'une puissance de 5. Ainsi, la fraction 3/4 représente un décimal, ce qui n'est pas le cas de la fraction 1/3. par un nombre décimal avec p chiffres après la virgule.
Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec un nombre fini de chiffres à droite de la virgule. Exemples : 92 est un nombre entier. 148,36 est un nombre décimal.
Raisonnement par l'absurde, on suppose 1/3 décimal. Donc 1/3 est de la forme a/10^n avec a entier positif. Donc 3a=10^n avec a entier positif. Donc 10^n est un multiple de 3.
Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale. unités et un dixième et huit centièmes puis s'écrit en respectant le principe de la numération décimale de position : 3,18. Dans l'écriture à virgule des nombres décimaux, la virgule permet de repérer le chiffre des unités.
On appelle nombre rationnel tout nombre pouvant s'écrire sous forme d'une fraction. 3,14 ; 5 ; -3,2 et -7 sont des nombres rationnels. Le nombre \pi est un nombre irrationnel, c'est-à-dire non rationnel.
Le quotient de deux nombres décimaux non nuls est également un nombre décimal. 6. L'inverse d'un nombre décimal peut être un nombre entier.
Un nombre entier est un nombre décimal dont la partie décimale est nulle.
Les autres nombres rationnels sont ceux dont la valeur n'est ni un entier ni un décimal. Le quotient de 9 9 9 par 7 7 7 est bien un nombre rationnel (on peut l'écrire 9 7 \frac 97 79) mais le résultat de la division de 9 9 9 par 7 7 7 n'est ni un entier, ni un décimal.
Un nombre rationnel est un nombre qui s'exprime comme le quotient de deux nombres entiers. Ainsi, 2013, 3/2, -2/3, 1/100 sont rationnels alors que la racine carrée de 2 ou Pi sont irrationnels.
En d'autres termes, un nombre rationnel est positif si son numérateur et son dénominateur ont tous deux le même signe. Parmi les exemples de nombres rationnels positifs, citons 0,2, 6 et 2/5.
Pour savoir si une fraction est un décimal, il faut décomposer le dénominateur en un produit de 2×5 : c'est le seul produit qui donne 10.
Conversion binaire décimale
Le premier rang (en partant de la droite) est le rang 0, le second est le 1, etc. Pour convertir le tout en décimale, on procède de la manière suivante : on multiplie par 20 la valeur du rang 0, par 21 la valeur du rang 1, par 22 la valeur du rang 2, [...], par 210 la valeur du rang 10, etc.
avec des chiffres sans fin. Ce n'est pas le cas de 1/7 = 0,142857 142857 … avec des chiffres sans fin, même si ce sont les mêmes qui se répètent. Les nombres avec virgule et quantité limitée de chiffres sont des nombres décimaux.
Il faut multiplier le nombre par le numérateur, puis diviser le résultat par le dénominateur.
Il n'existe aucun nombre réel qui ne soit pas un nombre décimal. Le quotient de deux nombres décimaux non nuls est également un nombre décimal. L'inverse d'un nombre décimal peut être un nombre entier. Il existe deux nombres rationnels dont la somme est un nombre entier.
Par exemple : l'opposé de 7 est égal à –7 car 7 + (–7) = 0. l'opposé de -0,3 est 0,3 car –0,3 + 0,3 = 0.
Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers. L'ensemble des nombres rationnels se note Q. Inversement, un nombre est irrationnel lorsqu'il n'est pas rationnel, c'est à dire qu'il ne peut s'écrire sous forme de fraction.
S'il est impossible d'écrire un nombre sous la forme d'une fraction de nombres entiers, celui-ci fait donc partie des nombres irrationnels. Le nombre 34 est une fraction de la forme ab. C'est donc un nombre rationnel. Le nombre 0,25 est un nombre décimal à développement fini dont la forme ab est 14.