Soit A un point du plan, ⃗ u un vecteur non nul et D la droite passant par A de vecteur directeur ⃗ \vec u. u . Un point M appartient à la droite D si et seulement si les vecteurs ⃗ u et A M → {\overrightarrow{AM}} AM sont colinéaires.
Conclure. On place l'abscisse du point A dans l'équation de la droite, et on conclut : Si l'on obtient bien l'ordonnée de A, alors A appartient à la droite. Si l'on obtient un nombre différent de l'ordonnée de A, alors A n'appartient pas à la droite.
Appartenance quand on connait l'équation cartésienne Avec l'équation cartésienne, pour savoir si un point appartient à une droite, la méthode consiste à remplacer x par l'abscisse du point et à remplacer y par l'ordonnée du point. On vérifie alors que l'on obtient bien 0 comme résultat final !!
Pour savoir si un point A appartient à une droite : Avec une représentation paramétrique: 1) On remplace x, y, z par les coordonnées de A dans une représentation paramétrique. 2) On vérifie qu'on obtient la même valeur de t dans les 3 équations.
En utilisant la formule. Une équation cartésienne de droite est de la forme ax+by+c=0. On peut déterminer une équation cartésienne de la droite \left(d\right) lorsque l'on connaît un point de la droite et un vecteur directeur de la droite.
Si on connaît les coordonnées (a ; b) et (c ; d) de deux points d'une droite, on peut calculer son coefficient directeur m. On peut ensuite écrire immédiatement qu'une équation de cette droite est y - b = m(x - a).
➢ Équation de la trajectoire : C'est la relation qui lie les coordonnées du mobile x, y, z entre eux indépendamment du temps. Pour trouver l'équation de la trajectoire, il faut éliminer le temps entre les différents coordonnées ou équations horaires : x = f (y,z) ou y = f (x,z) ou encore z = f (x,y).
Preuve : La tangente (T) au point A a pour équation y = mx + p et a pour coefficient directeur f '(a). En remplaçant, (T) : y = f '(a)x + p. Le point A(a, f(a)) appartient à cette tangente donc ses coordonnées vérifient l'équation de (T) soit , ce qui donne .
Les équations paramétriques d'une droite sont de la forme 𝑥 = 𝑥 + 𝑡 𝑙 , 𝑦 = 𝑦 + 𝑡 𝑚 , 𝑧 = 𝑧 + 𝑡 𝑛 , où ( 𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 ) sont les coordonnées d'un point appartenant à la droite, ( 𝑙 , 𝑚 , 𝑛 ) est un vecteur directeur de la droite et 𝑡 est un nombre réel (le paramètre) qui varie de − ∞ à + ∞ .
Position relative d'une droite et d'un plan
Penser à utiliser le nombre de point d'intersection: Si la droite et le plan ont aucun point d'intersection: la droite est parallèle au plan. Si la droite et le plan ont au moins 2 point d'intersection: la droite est incluse dans le plan.
Rappeler la condition d'appartenance
On rappelle qu'un point M\left(x;y\right) appartient à la courbe représentative de f si et seulement si x\in D_f et f\left(x\right) = y. Le point A\left(0;2\right) appartient à C_f si et seulement si 0\in D_f et f\left(0\right) = 2.
Propriété :Si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment. Propriété : Si un point est le milieu d'un segment alors ce point appartient à ce segment et est équidistant des extrémités du segment.
Pour montrer qu'un point appartient à une droite lorsque l'on connaît l'équation cartésienne de la droite et les coordonnées du point, il faut simplement remplacer x par l'abscisse du point et y par l'ordonnée du point et vérifier que l'égalité est vérifiée.
les vecteurs ont la même direction ou bien l'un des deux vecteurs est le vecteur nul 0 ; les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que u → = k v → \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v} u =kv .
La norme d'un vecteur correspond à sa longueur, c'est-à-dire à la distance qui sépare les deux points qui définissent le vecteur.
Une équation de droite se présente sous la forme : y = ax + b avec a le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine. Ici b = 2, car la droite coupe l'axe des ordonnées au point 2. Pour déterminer a, il suffit de se placer sur le point correspondant à l'ordonnée à l'origine (b).
Les droites (d) et (d') sont sécantes si et seulement si et ne sont pas colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de n'est pas nul.
On considère la droite (D) d'équation cartésienne 2x – 3y + 1 = 0. 1°) Déterminer un vecteur directeur de (D). 2x – 3y + 1 = 0 est de la forme ax +by + c = 0 avec a = 2; b = –3 et c =1. La propriété ci-dessus permet donc d'affirmer que le vecteur est vecteur directeur de (D).
Un point M\left(x;y\right) appartient à C_f, la courbe représentative d'une fonction f, si et seulement si x\in D_f et f\left(x\right) = y.
La formule pour l'équation d'une tangente est y = f'(a)(x-a) + f(a).
La trajectoire d'un point correspond à l'ensemble des positions successives occupées par ce point au cours de son mouvement.
L'équation de la trajectoire est l'équation qui permet de connaître les positions de la bille sans faire intervenir le temps, c'est-à-dire connaître si on connaît , et inversement. L'équation de la trajectoire s'obtient donc en éliminant la coordonnée temporelle (c'est-à-dire ).
Selon la forme de la trajectoire, le mouvement est qualifié de : • rectiligne : la trajectoire est une droite ; • circulaire : la trajectoire est un cercle ou un arc de cercle ; • curviligne : la trajectoire est une courbe quelconque.
On appelle vecteur directeur de D tout vecteur non nul u ! qui possède la même direction que la droite D. ( )≠ 0;0 ( ). Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite D.
Le coefficient directeur a représente la « pente » de la droite qui représente une fonction linéaire : si a > 0 a>0 a>0 la droite « monte » ; si a = 0 a=0 a=0 la fonction est constante, la droite est horizontale ; si a < 0 a<0 a<0 la droite « descend ».