Définition 4 Une famille F = { v1,..., vn} d'un espace vectoriel V sur un corps K est dite base de V lorsqu'elle est libre et génératrice. Par exemple la famille {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 2, 4)} est une base de R3.
Pour montrer que la famille {v1,v2,v3} est une base nous allons montrer que cette famille est libre et génératrice. Ainsi les coefficients vérifient a = b = c = 0, cela prouve que la famille est libre.
une combinaison linéaire nulle d'éléments de B. Alors, le membre de gauche est un polynôme égal au polynôme nul, or par définition deux polynômes sont égaux ssi les coefficients de même degrés sont égaux, donc en fait λ0 = 0,...,λn = 0 et la famille est bien libre, donc B est une base de Rn[X].
(U,V)=(2i,-j) signifie que u=2i et v=-j. (i,j) étant une base, alors les vecteurs i et j sont non colinéaires. Ainsi, comme u est colinéaire à i, et v est colinéaire à j, alors (u,v) est aussi une base.
Définition d'une base
Une famille de vecteurs de E est une base de E si c'est une famille à la fois génératrice de E et libre. De façon équivalente, une famille est une base de l'espace vectoriel E quand tout vecteur de l'espace se décompose de façon unique en une combinaison linéaire de vecteurs de cette base.
On peut vérifier que ces deux vecteurs sont linéairement indépendants, donc ils forment une base de F. Si z − 3y + 3x = 0, il n'y a pas de solution. Si z − 3y + 3x = 0, on obtient un syst`eme triangulaire, il y a donc une unique solution. Conclusion : (x, y, z) ∈ F ⇐⇒ z − 3y + 3x = 0.
Une base vectorielle est un ensemble de vecteurs qui permet d'exprimer n'importe quel autre vecteur à l'aide d'une combinaison linéaire. On peut décomposer n'importe quel vecteur en deux dimensions en une somme de deux autres vecteurs lesquels sont multipliés par des scalaires.
Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul. Le déterminant de u (−3 ;9) et v (1 ;−3) est det(u ;v )=(−3)×(−3)−9×1=0.
Pour démontrer que F est un sous-espace vectoriel de E , on applique la caractérisation des sous-espaces vectoriels, c'est-à-dire qu'on vérifie que 0E∈F 0 E ∈ F et que, pour tout couple (x,y)∈F2 ( x , y ) ∈ F 2 et tout scalaire λ∈K λ ∈ K , on a {x+y∈Fλx∈F. { x + y ∈ F λ x ∈ F .
Pour montrer que les sous-espaces vectoriels F et G sont supplémentaires, il suffit de montrer que F ∩ G = {0} et dimF + dimG = dimE. dim(F + G) = dimF + dimG − dim(F ∩ G).
Définitions. On appelle base de l'ensemble des vecteurs tout couple de vecteurs non-colinéaires. On appelle repère du plan tout triplé où O est un point du plan et est une base.
Si , et sont trois vecteurs non coplanaires, alors ils constituent une base de l'espace. On note cette base . Soit une base de l'espace, alors, pour tout vecteur de l'espace, il existe un unique triplet (x ; y ; z) de réels tels que . Dans ce cas, on dit que l'on a décomposé en fonction de , et .
Pour montrer que U est une famille génératrice de E, on prend un x quelconque dans E et on cherche à l'exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille. Si on a montré précédemment que E est égal à vect(U), on peut directement conclure que U est génératrice de E.
Les composantes d'un vecteur s'écrivent 𝑎 ; 𝑏, où 𝑎 décrit le déplacement horizontal et 𝑏 le déplacement vertical de l'origine au point terminal ou l'extrémité du vecteur. Les composantes 𝑎, 𝑏 du vecteur 𝐀𝐁 d'origine 𝐴 𝑥 𝐴, 𝑦 𝐴 à l'extrémité 𝐵 𝑥 𝐵, 𝑦 𝐵 sont 𝑎 égale 𝑥 𝐵 moins 𝑥 𝐴, 𝑏 égale 𝑦 𝐵 moins 𝑦 𝐴.
On trouve les coordonnées de chaque vecteur. On regarde si les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles. Si les coordonnées sont proportionnelles, alors les vecteurs sont colinéaires. Si les coordonnées ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite.
Deux vecteurs non nuls, et sont colinéaires si, et seulement si, il existe un nombre réel non nul tel que = . direction. Le vecteur nul 0 est colinéaire à tous les vecteurs.
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, u ⋅v =0.
On dit que M est combinaison linéaire de A,B et C ssi M est de la forme aA + bB + cC, avec a,b,c réels. On sait dire ça de trois autres façons : on peut trouver trois nombres a,b,c vérifiant M = aA + bB + cC, il existe trois réels a,b,c vérifiant M = aA + bB + cC. ∃a,b,c ∈ R, M = aA + bB + cC.
Adjectif. (Géométrie) De même direction (se dit de vecteurs). Deux vecteurs colinéaires et de même module sont égaux ou opposés. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
a) Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. b) Une base est orthonormée si et seulement si ses vecteurs sont de norme 1 et deux `a deux orthogonaux.
Trois vecteurs non nuls ⃗ ⃗ u ,v et ⃗ w sont coplanaires si et seulement leurs représentants de même origine A ont des extrémités B , C B, C B,C et D telles que A , B , C A, B, C A,B,C et D appartiennent à un même plan.
Une base ( , ) du plan est directe si et seulement si la mesure principale de l'angle ( , ) est positive. Dans le cas contraire, elle est indirecte.
L'espace vectoriel R 3 a pour dimension 3 . La partie { u , v , w } contient exactement trois vecteurs, aussi, pour démontrer que ( u , v , w ) est une base de R 3 , il suffit de démontrer que la partie { u , v , w } est une partie libre ou bien que la partie { u , v , w } est une partie génératrice de R 3 .