Une fonction P : R → R est dite polynomiale s'il existe un entier n ∈ N et des réels a0,a1,...,an tel que : ∀x ∈ R, P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ··· + anxn (∗) Les réels a0,a1,...,an sont alors les coefficients de la fonction polynomiale P. ☞ On parle plus couramment de "polynôme" au lieu d'application polynomiale.
En mathématiques, une fonction polynomiale (parfois appelée fonction polynôme) est une fonction obtenue en évaluant un polynôme. Par abus de langage, on appelle parfois une fonction polynomiale un polynôme, confondant ainsi la notion de fonction polynomiale avec celle de polynôme formel.
Une fonction polynôme est la somme de fonctions monômes.
Par abus de langage, on parle souvent de polynôme au lieu de fonction polynôme. Un polynôme de degré deux est aussi appelé trinôme du second degré. -ax² + bx + c est un trinôme du second degré.
Pour déterminer s'il s'agit d'un polynôme, nous devons d'abord vérifier si chacun des cinq termes est monôme. Cela signifie qu'elles doivent être le produit de constantes et de variables et que les variables doivent avoir des exposants positifs.
En général, une application E→Mn(K) est dite polynomiale si les n2 applications E→K correspondant aux coefficients sont polynomiales. On se trouve bien dans ce cas : chaque coefficient de la matrice Ak est un polynôme en les coefficients de la matrice A. On en déduit que l'application A↦Ak est continue.
Les exposants dans les monômes, les binômes, les trinômes et les polynômes sont toujours des nombres naturels. 3x1/2+2x−4 3 x 1 / 2 + 2 x − 4 n'est pas un polynôme puisque l'exposant de la variable x n'est pas un nombre naturel.
Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur R par , avec a un réel non nul, b et c deux réels. Sa représentation graphique est une parabole dont les branches sont tournées vers le haut lorsque et vers le bas lorsque . Le sommet S de la parabole est le point de la parabole d'abscisse .
– Un polynôme réduit de degré n est complet lorsque la variable y figure à toutes les puissances égales ou inférieures à n y compris le terme de degré 0 en la variable, appelé le terme indépendant de la variable.
C'est donc une équation du second degré. Le nombre de solutions de l'équation ax^2+bx+c=0 (avec a\neq 0), dépend du signe du discriminant \Delta : Si \Delta<0, l'équation n'admet aucune solution réelle. Si \Delta=0, l'équation admet une unique solution (dite « double ») : x_0=\dfrac{-b}{2a}.
les fonctions différentiables définies sur des variétés différentielles à valeurs numériques ou dans d'autres variétés. les fonctions arithmétiques à variable entière et à valeurs complexes. les fonctions booléennes à variables et valeurs dans l'algèbre de Boole.
Somme d'expressions algébriques formées par des termes où figurent une ou plusieurs variables. Exemple : 3X3 + 56X2 + 2 est un polynôme de la variable X.
Fonction polynôme du second degré :
Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction définie sur R dont l'expression algébrique peut être mise sous la forme : f ( x ) = a x 2 + b x + c f(x)=ax^2+bx+c f(x)=ax2+bx+c, avec a ≠ 0 a\neq0 a=0. Les réels a, b et c sont appelés coefficients de la fonction polynôme.
En algèbre, un monôme est un polynôme dont un seul coefficient est non nul. Autrement dit, c'est un polynôme particulier qui s'exprime sous la forme d'un produit d'indéterminées (notées X, Y…) affecté d'un coefficient. sont des monômes en une indéterminée.
Le degré du polynôme nul est, soit laissé indéfini, soit défini comme étant négatif (habituellement, −1 ou −∞). Comme toute valeur constante, la valeur 0 peut être considérée comme un polynôme (constant), appelé le polynôme nul. Il n'a aucun terme non nul et ainsi, de façon rigoureuse, il n'a pas de degré non plus.
– Si tous les coefficients ai sont nuls, P est appelé le polynôme nul, il est noté 0. – On appelle le degré de P le plus grand entier i tel que ai = 0 ; on le note degP. Pour le degré du polynôme nul on pose par convention deg(0) = −∞. – Un polynôme de la forme P = a0 avec a0 ∈ K est appelé un polynôme constant.
Si est un polynôme non nul, l'expression a n X n où est le degré de (i.e. a n ≠ 0 ), est appelée terme dominant de et notée d o m ( P ) . Le coefficient est appelé coefficient dominant du polynôme . Un polynôme est dit unitaire si son coefficient dominant est égal à 1.
Pour P(x) = ax + b,a 0, P est un polynôme du premier degré et pour P(x) = ax2 + bx + c,a 0, P est un polynôme du seconde degré. Pour k allant de 0 à n, les réels ak sont appelés coefficients de degré k du polynôme P. ! Par convention, le degré du polynôme nul, P(x) = 0 est égal à −∞.
Afin de représenter une fonction polynôme du second degré d'expression f\left(x\right) =ax^2+bx+c , avec a \neq 0, on étudie le signe de a et on détermine les coordonnées de son sommet avant de dresser un tableau de valeurs. Tracer l'allure de la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
Pour simplifier une fonction rationnelle 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑝 ( 𝑥 ) 𝑞 ( 𝑥 ) , nous devons effectuer les étapes suivantes : Déterminer les valeurs de 𝑥 avec 𝑞 ( 𝑥 ) = 0 . Ensuite, le domaine de définition de 𝑓 ( 𝑥 ) comprend toutes les valeurs réelles sauf ces racines.
Une fonction (polynôme) de degré 3 est une fonction qui peut s'écrire sous la forme f(x) = ax3 + bx² + cx + d avec a un réel non nul, b, c et d trois réels. La fonction f définie par f(x) = –2x3 + 3x² – 5x + 1 est une fonction du troisième degré. On identifie les coefficients : a = –2 ; b = 3 ; c = –5 ; d = 1.
3.1 Factorisation d'un polynôme
Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x de R, on ait : f (x) = (x −1)(ax2 +bx +c). Réponse : pour tout x de R : On identifie les coefficients des termes de même degré. a b c = = = 1 −1 2 Conclusion : pour tout x de R, f (x) = (x −1)(x2 −x +2).
Les racines d'une fonction polynôme de degré 3 du type x → a(x – x1)(x – x2)(x – x3) sont x1, x2 et x3. La fonction f : x → 2(x – 2)(x + 1)(x + 2) admet 3 racines : –2 ; –1 et 2. En effet, f(–2) = f(–1) = f(2) = 0.
Un monôme est une expression de la forme a x n ou a est un nombre réel et un entier naturel. Exemple : 3 x 2 . Un polynôme est une somme algébrique de monômes. Exemple : 3 x 2 + 6 x − 1 .
Un polynôme de degré 2 est un polynôme sous la forme avec a appartient à R* et b et c appartiennent à R. Sa courbe sera forcément une parabole : décroissant puis croissant lorsque a est positif et croissant puis décroissant lorsque a est négatif.