Si la courbe passe au-dessus et en-dessous de l'axe des 𝑥 dans l'intervalle [ 𝑎 ; 𝑏 ] , alors son intégrale définie est la différence entre l'aire au-dessus de l'axe des 𝑥 et l'aire sous l'axe des 𝑥 , dans l'intervalle [ 𝑎 ; 𝑏 ] .
Pour trouver l'intégrale définie d'une fonction, nous pouvons utiliser le théorème fondamental du calcul , qui stipule : Si f est continue et F est une primitive de f, alors ∫ abf ( x ) dx = [ F ( x ) ] ab = F ( b ) − F ( a ) \int_{a}^{b} f(x)dx = [F(x)]^b_a = F(b) - F(a) ∫abf(x)dx=[F (x)]ab=F(b)−F(a).
Une intégrale impropre est convergente si sa valeur est finie, dans le cas contraire elle est divergente.
Définition : Soit f une fonction continue et positive sur un segment [a,b] . Alors on appelle intégrale de a à b de f , et on note ∫baf(x)dx ∫ a b f ( x ) d x l'aire (en unités d'aires) du domaine délimité par l'axe des abscisses, les droites x=a et x=b , et la courbe y=f(x) y = f ( x ) .
Pour déterminer l'intégrale indéfinie des fonctions impliquant différentes puissances de 𝑥 , y compris les fonctions polynômes, inverses et radicales, on utilise les propriétés suivantes : La propriété de linéarité de l'intégration : ( 𝑎 𝑓 ( 𝑥 ) + 𝑏 𝑔 ( 𝑥 ) ) 𝑥 = 𝑎 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 + 𝑏 𝑔 ( 𝑥 ) 𝑥 , d d d pour 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ .
Propriété 1 : Les méthodes de différenciation et d'intégration sont inverses l'une de l'autre . ddx∫f(x) dx=f(x)∫f′(x) dx=f(x)+c où c est une constante arbitraire. Propriété 3 : L'intégrale de la somme/différence de deux fonctions est équivalente à la somme/différence des intégrales des fonctions fournies.
L'intégrale indéfinie est l'intégration d'une fonction sans aucune limite . L'intégration est le processus inverse de différenciation et est appelée la primitive de la fonction.
Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R . On dit que f est uniformément continue si ∀ε>0, ∃η>0, ∀(x,y)∈I2, |x−y|<η⟹|f(x)−f(y)|<ε.
On retiendra qu'une intégrale peut être positive ou négative mais qu'une aire, elle, est toujours positive.
Vérifiez l'unité : un domaine intégral doit avoir une identité multiplicative . Cela signifie qu'il doit y avoir un élément 1 dans l'ensemble tel que pour chaque élément a de l'ensemble, 1*a = a*1 = a. Vérifiez les diviseurs zéro : un domaine intégral ne contient pas de diviseurs zéro.
Étapes pour identifier les intégrales inappropriées
Étape 1 : Identifiez si l’une ou les deux limites sont infinies . Si tel est le cas, il s’agit d’une intégrale impropre de type I. Étape 2 : Identifiez si l’une ou les deux limites sont discontinues sur la fonction que nous intégrons. Si tel est le cas, il s’agit d’une intégrale impropre de type II.
Définition : Soit une fonction réelle, localement intégrable sur un intervalle , avec ω ∈ R ou . On dit que l'intégrale ∫ a ω f ( t ) d t est absolument convergente si l'intégrale ∫ a ω | f ( t ) | d t est convergente.
On dit que f est intégrable sur I ou que ∫If ∫ I f est absolument convergente si ∫I|f| ∫ I | f | converge. Théorème : Si f est intégrable sur I , alors ∫If(t)dt ∫ I f ( t ) d t converge. Si ∫If(t)dt ∫ I f ( t ) d t converge sans que f ne soit intégrable sur I , alors on parle d'intégrale semi-convergente.
Grossièrement, l'intégrale de f représente l'aire entre la courbe de f et l'axe des abscisses en comptant positivement ce qui est au-dessus et négativement ce qui en-dessous de cet axe. Si ton intégrale a l'air négative c'est que l'aire en-dessous de l'axe des abscisses est plus importante que celle qui est au-dessus.
Intégrale et primitives
L'intégrale de la fonction nulle est nulle sur tout intervalle inclus dans l'ensemble des réels ; les primitives de la fonction nulle (sur ℝ) sont donc les fonctions constantes.
La différence entre primitive et intégrale est qu'une primitive est une fonction tandis qu'une intégrale est un réel exprimé comme une aire algébrique (pouvant être négatif).
Dans les régions où le graphique de y=f(x) est au-dessus de l'axe des x (c'est-à-dire, f(x)>0), une intégrale définie calcule la zone entre le graphique et l'axe des x . Dans les régions où le graphique est en dessous de l'axe des x (c'est-à-dire f(x)<0), l'intégrale calcule le négatif de l'aire entre le graphique et l'axe des x.
Si votre intégrale s’avère négative, cela impliquerait que l’aire se trouve sous l’axe des x et non sous la courbe .
L'intégrale définie donne la valeur de l'aire délimitée entre la courbe aux limites données et l'axe des x (si on intègre par rapport à x !) Si cette valeur est négative, cela signifie que l'aire sous l'axe des x est supérieur à la zone au-dessus de l’axe des x entre ces deux limites .
Toute fonction continue est intégrable, mais il existe des fonctions intégrables qui ne sont pas continues . (exemple : la fonction de la figure 9 est intégrable sur [0,5] mais n'est pas continue en 2 et 3.)
La définition de l'intégrale définie. limn→∞Ln=limn→∞Rn=limn→∞Mn=limn→∞n∑i=1f(x∗i)Δx. Le fait que ces limites existent toujours (et partagent la même valeur) lorsque f est continue 2 nous permet de faire la définition suivante. Il s'avère qu'une fonction n'a pas besoin d'être continue pour avoir une intégrale définie .
En terme de différentielle, on a la caractérisation suivante : Proposition : Soit f une fonction définie sur un ouvert U de Rn. R n . f est de classe C1 sur U si et seulement si f est différentiable sur U et si l'application x↦dfx x ↦ d f x est continue.
En outre, nous dirions qu'une intégrale définie est un nombre auquel nous pourrions appliquer la deuxième partie du Théorème Fondamental du Calcul ; mais une primitive est une fonction à laquelle on pourrait appliquer la première partie du Théorème Fondamental du Calcul.
Ce seraient des dérivées, des intégrales définies et des primitives (maintenant aussi appelées intégrales indéfinies ). Lorsque vous découvrirez le théorème fondamental du calcul, vous apprendrez que la primitive a une propriété très, très importante. Il y a une raison pour laquelle on l’appelle aussi intégrale indéfinie.
Ainsi, deux primitives quelconques de la même fonction sur n’importe quel intervalle ne peuvent différer que par une constante. La primitive n'est donc pas unique , mais est "unique à une constante près".