Dans ce cas, on note ∫+∞af(t)dt ∫ a + ∞ f ( t ) d t ou ∫+∞af ∫ a + ∞ f cette limite. Une telle intégrale est alors appelée intégrale généralisée ou intégrale impropre. Soit f:[a,b[→K f : [ a , b [ → K continue par morceaux avec a,b∈R a , b ∈ R .
Une intégrale générale d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre est une relation entre les variables de l'équation impliquant une fonction arbitraire telle que l'équation est satisfaite lorsque la relation y est substituée, pour chaque choix de la fonction arbitraire. Voir également Intégrale d'une équation différentielle.
Une intégrale impropre est convergente si sa valeur est finie, dans le cas contraire elle est divergente.
On dit que f est intégrable sur I ou que ∫If ∫ I f est absolument convergente si ∫I|f| ∫ I | f | converge. Théorème : Si f est intégrable sur I , alors ∫If(t)dt ∫ I f ( t ) d t converge. Si ∫If(t)dt ∫ I f ( t ) d t converge sans que f ne soit intégrable sur I , alors on parle d'intégrale semi-convergente.
Si, pour tout entier naturel n, I_{n+1}-I_{n}\geqslant 0, on en déduit que la suite est croissante. Si, pour tout entier naturel n, I_{n+1}-I_{n}\leqslant 0, on en déduit que la suite est décroissante.
Si f′(x)>0 sur un intervalle ouvert, alors f est croissant sur l'intervalle . Si f′(x)<0 sur un intervalle ouvert, alors f est décroissant sur l'intervalle.
Les dérivées peuvent être utilisées pour déterminer si une fonction est croissante, décroissante ou constante sur un intervalle : f(x) est croissante si la dérivée f/(x) > 0, f(x) est décroissante si la dérivée f/(x) < 0 , f(x) est constant si dérivée f/(x)=0 .
Si une fonction est continue sur un intervalle donné, elle est intégrable sur cet intervalle . De plus, si une fonction ne possède qu'un nombre fini de discontinuités sur un intervalle donné, elle est également intégrable sur cet intervalle.
Théorème (théorème fondamental du calcul intégral) : Si f est une fonction continue et positive sur [a,b] , alors la fonction F définie sur [a,b] par F(x)=∫xaf(t)dt F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t est dérivable sur [a,b] , et a pour dérivée f .
On dit que l'intégrale ∫baf ∫ a b f est convergente si, pour un (ou de façon équivalente pour tout) c∈]a,b[ c ∈ ] a , b [ , la fonction x↦∫xcf(t)dt x ↦ ∫ c x f ( t ) d t admet une limite finie lorsque x tend vers b et la fonction x↦∫cxf(t)dt x ↦ ∫ x c f ( t ) d t admet une limite finie lorsque x tend vers a .
Toute fonction en escalier est bornée car elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs. Si f est réglée, il existe ϕ en escalier telle que, pour tout x ∈ [a, b], |f(x) − ϕ(x)| ≤ 1, et donc |f(x)|≤|ϕ(x)| + 1, ce qui prouve que f est bornée.
Les intégrales sont un type de limite et, comme toute limite, elles peuvent converger ou diverger . L'intégrale peut diverger car le domaine d'intégration est illimité et la fonction ne se dégrade pas assez vite. Une intégrale peut également diverger sur un domaine borné si la fonction croît trop rapidement vers une asymptote.
f est dite intégrable sur [a, b] si et seulement si I[a,b](f) = I[a,b](f) (pincement).
Le symbole dx, appelé différentiel de la variable x , indique que la variable d'intégration est x. La fonction f(x) est appelée l'intégrande, les points a et b sont appelés les limites (ou limites) de l'intégration, et l'intégrale est dite sur l'intervalle [a, b], appelé l'intervalle d'intégration.
Intégrale et primitives
L'intégrale de la fonction nulle est nulle sur tout intervalle inclus dans l'ensemble des réels ; les primitives de la fonction nulle (sur ℝ) sont donc les fonctions constantes.
A quoi sert l’intégration dans la vraie vie ? Les intégrales sont utilisées dans divers secteurs de la vie réelle, y compris l'ingénierie, où les ingénieurs utilisent des intégrales pour déterminer la géométrie d'un bâtiment . Il est utilisé, entre autres, en physique pour décrire le centre de gravité.
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h).
On retiendra qu'une intégrale peut être positive ou négative mais qu'une aire, elle, est toujours positive.
Propriété de positivité
En d'autre termes, l'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle est positive, ce qui est logique dans la mesure où elle s'interprète comme une aire (voir le début du cours).
Les intégrales de fonctions paires, lorsque les limites d'intégration vont de −a à a, impliquent deux aires égales, car elles sont symétriques par rapport à l'axe des y. Les intégrales de fonctions impaires, lorsque les limites d'intégration sont de la même manière [−a,a], sont évaluées à zéro car les zones au-dessus et en dessous de l'axe des x sont égales .
Utiliser « intégrale indéfinie » pour signifier « primitive » (ce qui est malheureusement courant) obscurcit le fait que l'intégration et l'anti-différenciation sont en réalité des choses différentes en général. Wolfram Mathworld dit qu'une intégrale indéfinie est "également appelée primitive" .
Les exemples les plus simples de fonctions non intégrables sont : dans l'intervalle [0, b] ; et dans tout intervalle contenant 0. Ceux-ci ne sont intrinsèquement pas intégrables, car la zone que représenterait leur intégrale est infinie . Il y en a d'autres également, pour lesquels l'intégrabilité échoue parce que l'intégrande saute trop.
To find when a function is decreasing, you must first take the derivative, then set it equal to 0, and then find between which zero values the function is negative. Now test values on all sides of these to find when the function is negative, and therefore decreasing.
On parle de décroissance lorsque, sur un intervalle donné du domaine d'une fonction, l'image de celle-ci n'augmente pas. La décroissance correspond donc à un intervalle en x sur lequel les valeurs de y n'augmentent pas : elles diminuent ou restent constantes.
Prenez la pente de la ligne sécante entre deux points de la courbe et si vous obtenez une pente négative, alors vous pourriez dire (cela dépend vraiment complètement de la courbe et de l'intervalle) la fonction diminue sur cet intervalle et vous le feriez. Je n'utilise pas le calcul.